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wzjs 2025/7/19 20:34:31

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笔者注

神经网络的前向传播（Forward Propagation）是指输入数据从输入层经过各隐藏层传递到输出层，逐层计算激活值的过程。这一过程不涉及参数更新，主要用于生成预测结果或为反向传播提供中间值。如果觉得理解起来过于抽象，就把这个过程作为为了得到结果所需要做的必要过程好了。

1. 神经网络结构基础

之前笔记介绍过

神经网络由多层神经元组成，一般有3层结构：

- 输入层：接收原始数据。

- 隐藏层：1个或多个中间层，通过非线性变换提取特征。

- 输出层：生成最终预测结果。

- 神经元连接：每层神经元通过带权重的边与下一层神经元相连，权重决定输入信号的重要性。

2. 前向传播核心步骤

假设神经网络有L层，第l层的输入为 $a^{(l-1)}$ ，输出为 $a^{(l)}$ 。每一层的计算分为两步：

步骤1：线性变换（Linear Transformation）

- 公式： $z^{(l)} = W^{(l)} \cdot a^{(l-1)} + b^{(l)}$

- $W^{(l)}$ ：第l层的权重矩阵（维度为 $n^{(l)} \times n^{(l-1)}$ ）。

- $b^{(l)}$ ：第l层的偏置向量（维度为 $n^{(l)} \times 1$ ）。

- $a^{(l-1)}$ ：第l-1层的激活值（输入）。

- $z^{(l)}$ ：第l层的线性组合结果（未激活值）。

步骤2：非线性激活（Non-linear Activation）

- 公式： $a^{(l)} = \sigma(z^{(l)})$

- $\sigma(\cdot)$ ：激活函数（如ReLU、sigmoid、tanh等）。

- 作用：引入非线性，使神经网络能学习复杂模式。

3. 逐层计算示例

以一个简单的3层网络（输入层→隐藏层→输出层）为例：

1. 输入层到隐藏层：

- 输入数据 $a^{(0)} = X$ （假设X为样本矩阵，维度为 $n^{(0)} \times m$ ，m为样本数）。

- 计算 $z^{(1)} = W^{(1)} \cdot a^{(0)} + b^{(1)}$ 。

- 激活： $a^{(1)} = \sigma(z^{(1)})$ 。

2. 隐藏层到输出层：

- 计算 $z^{(2)} = W^{(2)} \cdot a^{(1)} + b^{(2)}$ 。

- 输出层激活（根据任务选择函数）：

- 回归任务：线性激活 $a^{(2)} = z^{(2)}$ 。

- 分类任务：Softmax激活（输出概率分布）。

4. 激活函数的选择

- 常见激活函数：

- Sigmoid：输出范围(0,1)，适合二分类。

- ReLU：计算高效，缓解梯度消失（ $\sigma(z) = \max(0, z)$ ）。

- Softmax：输出层多分类常用，将值归一化为概率分布。

- 选择依据：根据任务类型（分类/回归）和网络深度（避免梯度问题）。

5. 矩阵运算的高效性

- 向量化计算：通过矩阵乘法同时处理多个样本，避免循环。

- 示例：若有m个样本，每个样本的输入为 $x_i$ ，则 $a^{(0)} = [x_1, x_2, ..., x_m]$ ，矩阵运算可批量计算所有样本的激活值。

6. 前向传播的作用

- 预测阶段：输入新数据，逐层计算输出，得到预测结果。

- 训练阶段：为反向传播提供中间值（如各层的z和a），用于计算梯度并更新参数。

7.简单的算法示例代码

import numpy as np# 定义激活函数
def sigmoid(z):return 1 / (1 + np.exp(-z))# 前向传播函数
def forward_propagation(X, W1, b1, W2, b2):# 输入层到隐藏层的线性变换z1 = np.dot(W1, X) + b1# 隐藏层的激活函数a1 = sigmoid(z1)# 隐藏层到输出层的线性变换z2 = np.dot(W2, a1) + b2# 输出层的激活函数a2 = sigmoid(z2)return a2# 示例数据
# 输入特征，假设有3个样本，每个样本有2个特征
X = np.array([[0.1, 0.2], [0.3, 0.4], [0.5, 0.6]]).T
# 隐藏层神经元数量
n_hidden = 3
# 输入层神经元数量
n_input = X.shape[0]
# 输出层神经元数量
n_output = 1# 初始化权重和偏置
# 输入层到隐藏层的权重
W1 = np.random.randn(n_hidden, n_input)
# 隐藏层的偏置
b1 = np.zeros((n_hidden, 1))
# 隐藏层到输出层的权重
W2 = np.random.randn(n_output, n_hidden)
# 输出层的偏置
b2 = np.zeros((n_output, 1))# 执行前向传播
output = forward_propagation(X, W1, b1, W2, b2)
print("前向传播的输出结果：")
print(output)