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回来考虑泽塔函数，

我们知道，

也就是在平面直角坐标系上反正切函数在x上的变化率，那么不难看出，

就是在s维空间上的“广义”反正切函数在单位p上的变化率，而泽塔函数，就是这些变化率的全乘积，

因为是全乘积，所以这些变化率中，有一个为0，结果就为0。正切函数从给出的角度求y比x的比值，反正切从y比x的比值求角度。对于我们熟悉的反正切函数的导数函数，它不可能为0，但反正切函数的导数会随着数值的（向着正负方向）增长趋向于0。这里的广义反正切函数，若其导数为0，只能说出现在无穷远（或者无穷大）处。但对于我们来说，这并不成问题，因为若看虚数单位变换之前的分母，

可以得到时，，也就是周期减去1。

或者根据广义虚数单位的性质，

根据形式相似，我们可以写出，

这时候的1/2指的就是泽塔函数的非平凡零点。可见这里的p是一个代词，它指代的是某个或者某些个质数，在给定的广义反正切为0的前提下，它就是系统的周期，但到底是哪个质数，则需要一个确定的位置，所以此时的确定位置，必须由s来提供，这就是

中的t的来源，t可能指的是某一个p的位置，也可能指的是若干个p综合的结果，因为毕竟在结果为0的前提下，这些反正切的导数之间是“与”的关系，但也许p指定的是确定位置更有可能。

既然我们用了p，那就说明我们已经在使用广义的虚数单位，它仍然是单位的某次方根，但这里的单位已经不再必须是-1，而是可以包括1在内的所有质数，而某次方根也不限定于2，而是s次。但这都没有关系，广义反正切仍然成立。

总结一下，关于泽塔函数的零点问题，平凡零点指的是，

此时，

非平凡零点指的是，

此时，

回到物理学，从泽塔函数的非平凡零点为1/2的证明中我们已经意识到，之所以取1/2从操作上来讲是为了实现前后两项的串联。从扩展泽塔函数我们知道，原来泽塔函数的部分意味着物质的内在谐波分量，扩展部分则意味着物质外在谐波场域。外在场域中出现其它振动导致周期变化，也会影响内在谐波分量甚至是核心频率。这使得它可以和其它的相似的结构相互作用，这就是平凡零点的运作方式。平凡零点的特征在于，它并没有严格的内外分界，这种情况非常像电磁波谱中，光子没有明确的起始频率。

而非平凡零点，所有相继项之间存在内在关系，相继项的倍频性质导致的同一性远超平凡零点结构中并列项之间的影响。所以非平凡零点结构具有更大的内聚性，并不容易受到外在环境其它振动的影响（虽然外界也可以影响）。也就是说，非平凡零点的结构更像是物质，而不像光子。