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wzjs 2025/7/19 19:06:02

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Leetcode 209: 长度最小的子数组 是一道经典的滑动窗口问题，考察多种算法思想，包括双指针、前缀和、二分查找等解法。本题要求找到数组中和大于等于 target 的最短连续子数组长度。

题目描述

输入：一个正整数数组 nums 和一个正整数 target。

输出：返回其长度最小的子数组，即和大于等于 target 且长度最短的连续子数组的长度。如果不存在这样的子数组，返回 0。

示例输入输出

输入：target = 7, nums = [2,3,1,2,4,3]
输出：2
解释：子数组 [4,3] 是满足和 ≥ 7 的最短子数组。输入：target = 4, nums = [1,4,4]
输出：1
解释：子数组 [4] 是满足和 ≥ 4 的最短子数组。输入：target = 11, nums = [1,1,1,1,1,1,1,1]
输出：0
解释：不存在满足情况的子数组。

解法 1：滑动窗口（双指针）

思路

滑动窗口是解决数组或字符串中连续子区间问题的经典方法。通过维护一个动态窗口 [start, end] 来实现。
具体步骤：
- 窗口的右边界 end 向右滑动，并逐步累加当前的窗口和。
- 当窗口和 ≥ target 时，尝试移动左边界 start，缩小窗口的大小，并更新满足条件的最小窗口长度。
- 持续调整窗口的范围，直到完全遍历数组。

代码模板

class Solution {public int minSubArrayLen(int target, int[] nums) {int n = nums.length;int left = 0; // 滑动窗口的左边界int sum = 0; // 当前窗口的总和int minLength = Integer.MAX_VALUE;for (int right = 0; right < n; right++) {sum += nums[right]; // 移动右边界，累加窗口和while (sum >= target) { // 当窗口和满足条件时，移动左边界缩小窗口minLength = Math.min(minLength, right - left + 1);sum -= nums[left];left++;}}return minLength == Integer.MAX_VALUE ? 0 : minLength;}
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)
- 每个元素最多被访问两次：一次是右边界扩展时访问，一次是左边界收缩时访问。
空间复杂度：O(1)
- 只使用了固定大小的变量，没有额外的数据结构。

解法特性

优点：效率高，是解决本题的最佳解法之一，代码精简易理解。
适用场景：数组中存在大量连续子数组满足条件的情况。
限制：数组元素必须为正数，因滑动窗口无法处理负数。

解法 2：前缀和 + 二分查找

思路

前缀和：
- 构造一个前缀和数组 prefixSum，其中 prefixSum[i] 表示数组前 i 个元素的和。
- 这样，任何子数组 nums[i:j] 的和都可以通过 prefixSum[j] - prefixSum[i] 快速计算得到。
二分查找：
- 遍历每个前缀和 prefixSum[i]，通过二分查找目标和 prefixSum[i] + target 在前缀和数组中的最早出现位置 j。
- 如果找到有效位置 j，则子数组长度为 j - i，更新最小长度。

代码模板

class Solution {public int minSubArrayLen(int target, int[] nums) {int n = nums.length;int[] prefixSum = new int[n + 1];// 构造前缀和数组for (int i = 1; i <= n; i++) {prefixSum[i] = prefixSum[i - 1] + nums[i - 1];}int minLength = Integer.MAX_VALUE;// 遍历前缀和数组，使用二分查找目标值for (int i = 0; i < n; i++) {int requiredSum = prefixSum[i] + target;int boundIndex = binarySearch(prefixSum, requiredSum); // 查找最早满足条件的位置if (boundIndex != -1) { // 找到有效位置minLength = Math.min(minLength, boundIndex - i);}}return minLength == Integer.MAX_VALUE ? 0 : minLength;}// 在前缀和中进行二分查找private int binarySearch(int[] prefixSum, int target) {int low = 0, high = prefixSum.length - 1;while (low <= high) {int mid = low + (high - low) / 2;if (prefixSum[mid] >= target) {high = mid - 1;} else {low = mid + 1;}}return low < prefixSum.length ? low : -1;}
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n log n)
- 构建前缀和数组耗时 O(n)，每次二分查找耗时 O(log n)，遍历数组 O(n)，总复杂度为 O(n log n)。
空间复杂度：O(n)
- 使用了长度为 n+1 的前缀和数组。

解法特性

优点：扩展性强，若 nums 包含负数，不影响正确性。
缺点：相较滑动窗口，复杂度偏高，代码较复杂。

解法 3：暴力枚举

思路

遍历数组的所有起点 i，计算从 i 开始的每个连续子数组的和。
若某个子数组和大于等于 target，更新最小长度。
逐一遍历所有可能的子数组，寻找最优解。

代码模板

class Solution {public int minSubArrayLen(int target, int[] nums) {int n = nums.length;int minLength = Integer.MAX_VALUE;// 枚举起点 ifor (int i = 0; i < n; i++) {int sum = 0;for (int j = i; j < n; j++) {sum += nums[j];if (sum >= target) {minLength = Math.min(minLength, j - i + 1);break; // 提前退出，因为 j 越往后长度越大}}}return minLength == Integer.MAX_VALUE ? 0 : minLength;}
}