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CF2074F Counting Necessary Nodes

题目描述

四叉树是一种树形数据结构，其中每个节点最多有四个子节点，每个节点对应一个正方形区域。

形式化地说，对于所有非负整数 $k,a,b\ge 0$ 的元组，存在且仅存在一个节点对应以下区域 ${}^{\text{∗}}$：

$$[a\cdot 2^k,(a+1)\cdot 2^k]\times [b\cdot 2^k,(b+1)\cdot 2^k]$$

所有区域大小超过 $1\times 1$ 的节点都包含四个子节点，这些子节点对应将原区域四等分后的四个子区域；而区域为 $1\times 1$ 的节点对应树的叶节点。

图中展示了部分节点对应的区域。颜色较深的区域更接近叶节点。

Frontman 厌恶一个普遍的误解——当区域内包含 $n$ 个叶节点时，四叉树可以在 $\mathcal{O}(\log n)$ 时间内完成范围查询。事实上，有时需要查询远多于 $\mathcal{O}(\log n)$ 个区域，极端情况下时间复杂度甚至为 $\mathcal{O}(n)$。因此，Frontman 设计了此题来教育你关于该数据结构的最坏情况。

粉色士兵们给定了一个有限区域 $[l_1,r_1]\times [l_2,r_2]$，其中 $l_i$ 和 $r_i$（$l_i<r_i$）为非负整数。请找出最少需要选择多少个节点，使得这些节点对应区域的并集恰好等于给定区域。这里，两个点集被认为是不同的，当且仅当存在一个点属于其中一个集合但不属于另一个。

${}^{\text{∗}}$ 区域是具有实数坐标的点集。点 $(x,y)$ 属于区域 $[p,q]\times [r,s]$ 当且仅当 $p\le x\le q$ 且 $r\le y\le s$。此处 $\times$ 形式上指集合的笛卡尔积。

输入格式

每个测试包含多个测试用例。第一行包含测试用例的数量 $t$（$1\le t\le 10^4$）。接下来是每个测试用例的描述。

每个测试用例的唯一一行包含四个整数 $l_1$、$r_1$、$l_2$、$r_2$ —— 各坐标轴的区域边界（$0\le l_i<r_i\le 10^6$）。

输出格式

对于每个测试用例，在单独一行中输出满足条件所需的最少节点数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

5
0 1 1 2
0 2 0 2
1 3 1 3
0 2 1 5
9 98 244 353

输出 #1

1
1
4
5
374

说明/提示

第一个测试用例中，给定区域为 $[0,1]\times [1,2]$。存在一个节点对应该区域，选择该节点即可，答案为 $1$。

第二个测试用例中，给定区域为 $[0,2]\times [0,2]$。存在一个节点对应该区域，选择该节点即可，答案为 $1$。

第三个测试用例中，给定区域为 $[1,3]\times [1,3]$。不存在对应该区域的节点。但可以通过选择以下 $4$ 个叶节点构造出相同区域：

• 对应 $[1,2]\times [1,2]$ 的叶节点；
• 对应 $[1,2]\times [2,3]$ 的叶节点；
• 对应 $[2,3]\times [1,2]$ 的叶节点；
• 对应 $[2,3]\times [2,3]$ 的叶节点。

可以证明无法用少于 $4$ 个节点构造出该区域，因此答案为 $4$。

第四个测试用例中，给定区域为 $[0,2]\times [1,5]$。可以通过选择以下 $5$ 个节点构造出相同区域：

• 对应 $[0,1]\times [1,2]$ 的叶节点；
• 对应 $[1,2]\times [1,2]$ 的叶节点；
• 对应 $[0,2]\times [2,4]$ 的非叶节点；
• 对应 $[0,1]\times [4,5]$ 的叶节点；
• 对应 $[1,2]\times [4,5]$ 的叶节点。

可以证明无法用少于 $5$ 个节点构造出该区域，因此答案为 $5$。

翻译由 DeepSeek R1 完成

#include <bits/stdc++.h>using i64 = long long;void solve () {i64 l1, r1, l2, r2;std::cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;i64 cnt = (r1 - l1) * (r2 - l2);for (int i = 1; i <= 20; ++i) {i64 t = 1 << i;i64 lx = (l1 >> i << i);if (l1 % t != 0) lx += t;i64 ly = (l2 >> i << i);if (l2 % t != 0) ly += t;i64 rx = r1 >> i << i;i64 ry = r2 >> i << i;if (lx >= rx || ly >= ry) break;cnt -= 3 * (rx - lx) / t * (ry - ly) / t;}std::cout << cnt << std::endl;
}int main() {
#ifdef qmwnebassert(freopen(".in.txt", "r", stdin));assert(freopen(".out.txt", "w", stdout));
#endifstd::cin.tie(0)->std::ios::sync_with_stdio(0);int t = 1;std::cin >> t;while (t--) {solve();}return 0;
}