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一、假设检验的基本原理

1. 基本思想

• 反证法：假设原假设成立，通过样本矛盾性进行反驳
• 小概率原理：设定显著性水平 $\alpha$（通常取 0.05），若观测结果的概率 $p\le \alpha$，则拒绝 $H_0$

2. 假设类型

检验类型	原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$
双侧检验	$\mu ={\mu }_0$	$\mu \ne {\mu }_0$
左侧检验	$\mu \ge {\mu }_0$	$\mu <{\mu }_0$
右侧检验	$\mu \le {\mu }_0$	$\mu >{\mu }_0$

3. 两类错误

错误类型	定义	概率符号
第一类错误	拒绝正确的 $H_0$（弃真）	$\alpha$
第二类错误	未拒绝错误的 $H_0$（取伪）	$\beta$

• 关系：$\alpha \uparrow \Rightarrow \beta \downarrow$，扩大样本量可同时降低 $\alpha$ 和 $\beta$

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二、单正态总体均值的假设检验

1. 大样本（$n\ge 30$）

（1）总体方差 ${\sigma }^2$ 已知

检验统计量：
$$Z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

（2）总体方差 ${\sigma }^2$ 未知（用样本方差 $s^2$ 代替）

检验统计量：
$$Z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

决策规则

• 双侧检验：$|Z|>Z_{\alpha /2}$
• 单侧检验：$Z>Z_{\alpha }$（右）或 $Z<-Z_{\alpha }$（左）

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2. 小样本（$n<30$）

（1）总体方差 ${\sigma }^2$ 已知

仍使用 $Z$ 检验，公式同上。

（2）总体方差 ${\sigma }^2$ 未知

检验统计量：
$$t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

决策规则

• 双侧检验：$|t|>t_{\alpha /2}(n-1)$
• 单侧检验：$t>t_{\alpha }(n-1)$（右）或 $t<-t_{\alpha }(n-1)$（左）

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三、两正态总体均值差的假设检验

1. 独立样本，方差已知或大样本

检验统计量：
$$Z=\frac{({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)-D}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$$

2. 独立样本，方差未知但相等（合并方差）

合并方差计算：
$$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$$

检验统计量：
$$t=\frac{{\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2}{\sqrt{s_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}\sim t(n_1+n_2-2)$$

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四、总体比例的假设检验

1. 单总体比例检验（大样本）

检验统计量：
$$Z=\frac{p-{\pi }_0}{\sqrt{\frac{{\pi }_0(1-{\pi }_0)}{n}}}\sim N(0,1)$$

2. 两总体比例差检验（大样本）

检验统计量：
$$Z=\frac{(p_1-p_2)-d}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}\sim N(0,1)$$

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五、假设检验步骤

1. 提出假设：明确 $H_0$ 和 $H_1$
2. 选择统计量：根据样本量、方差是否已知选择 $Z$ 或 $t$
3. 确定 $\alpha$：通常取 0.05 或 0.01
4. 计算统计量：代入公式计算实际值
5. 决策规则：比较统计量与临界值，或比较 $p$ 值与 $\alpha$

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六、经典例题

例题1：单总体均值检验（大样本）

题干：样本量 $n=100$，$\bar{x}=60$，$s=15$，检验 $H_0:\mu =65$ vs $H_1:\mu \ne 65$（$\alpha =0.05$）
解答：
$$Z=\frac{60-65}{15/\sqrt{100}}=-3.33$$
临界值 $Z_{0.025}=\pm 1.96$，因 $|Z|=3.33>1.96$，拒绝 $H_0$。

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例题2：小样本t检验

题干：检验饼干水分均值是否超标（$n=15$，$\bar{x}=4.03\%$，$s=0.43\%$，$\alpha =0.05$）
解答：
$$t=\frac{4.03-4.0}{0.43/\sqrt{15}}\approx 0.27$$
临界值 $t_{0.05}(14)=1.761$，因 $t=0.27<1.761$，不拒绝 $H_0$。