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正则化代价函数（Regularized Cost Function）详解

正则化代价函数是机器学习中用于防止模型过拟合的核心技术，通过在原始代价函数中添加惩罚项，约束模型参数的大小，从而提高泛化能力。以下是系统化的解析：

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1. 为什么需要正则化？

• 过拟合问题：当模型过于复杂（如高阶多项式回归、深度神经网络）时，可能完美拟合训练数据但泛化性能差。
• 解决方案：在代价函数中增加对参数的惩罚，抑制不重要的特征权重。

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2. 正则化代价函数的数学形式

(1) 原始代价函数（以线性回归为例）

[
J(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m ( \hat{y}^{(i)} - y^{(i)} )^2
]

(2) 加入正则化项后的代价函数

[
J_{\text{reg}}(\mathbf{w}, b) = \underbrace{\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m ( \hat{y}^{(i)} - y^{(i)} )^2}{\text{原始损失}} + \underbrace{\lambda \cdot R(\mathbf{w})}{\text{正则化项}}
]

• ( \lambda )：正则化强度（超参数），控制惩罚力度。
• ( R(\mathbf{w}) )：正则化项，常见形式为L1或L2。

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3. 常见的正则化方法

(1) L2正则化（岭回归，Ridge Regression）

• 正则化项：参数平方和（欧几里得范数）。
  [
  R(\mathbf{w}) = \frac{1}{2} |\mathbf{w}|2^2 = \frac{1}{2} \sum{j=1}^n w_j^2
  ]
• 作用：使参数趋向于较小的值，但不强制为零。
• 更新后的梯度下降公式：
  [
  w_j := w_j - \alpha \left( \frac{\partial J}{\partial w_j} + \frac{\lambda}{m} w_j \right)
  ]

(2) L1正则化（Lasso回归）

• 正则化项：参数绝对值之和（曼哈顿范数）。
  [
  R(\mathbf{w}) = |\mathbf{w}|1 = \sum{j=1}^n |w_j|
  ]
• 作用：产生稀疏权重矩阵（部分参数恰好为零），自动执行特征选择。
• 梯度更新（需使用次梯度优化）：
  [
  w_j := w_j - \alpha \left( \frac{\partial J}{\partial w_j} + \frac{\lambda}{m} \text{sign}(w_j) \right)
  ]

(3) Elastic Net（弹性网络）

• 结合L1和L2：平衡两种正则化的优势。
  [
  R(\mathbf{w}) = \lambda_1 |\mathbf{w}|_1 + \lambda_2 |\mathbf{w}|_2^2
  ]

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4. 正则化的直观理解

• L2正则化：将参数限制在一个“圆”内（平滑约束）。

• L1正则化：将参数限制在一个“菱形”内（尖角导致稀疏性）。

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5. 代码实现（Python）

(1) 使用Scikit-learn实现

from sklearn.linear_model import Ridge, Lasso# L2正则化（Ridge回归）
ridge = Ridge(alpha=1.0)  # alpha即λ
ridge.fit(X_train, y_train)# L1正则化（Lasso回归）
lasso = Lasso(alpha=0.1)
lasso.fit(X_train, y_train)

(2) 手动实现梯度下降（L2正则化）

def gradient_descent(X, y, alpha=0.01, lambda_=0.1, epochs=1000):m, n = X.shapew = np.zeros(n)b = 0for _ in range(epochs):y_pred = X.dot(w) + b# 计算梯度（含L2正则化项）dw = (1/m) * X.T.dot(y_pred - y) + (lambda_/m) * wdb = (1/m) * np.sum(y_pred - y)# 更新参数w -= alpha * dwb -= alpha * dbreturn w, b

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6. 如何选择正则化类型？

场景	推荐方法	理由
需要特征选择（稀疏解）	L1正则化（Lasso）	自动将不重要特征的权重设为零。
参数平滑约束，避免过拟合	L2正则化（Ridge）	适合特征间相关性高的数据。
高维数据，特征数量远大于样本	Elastic Net	结合L1和L2的优势。

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7. 超参数λ的选择

• λ过大：模型欠拟合（参数过度压缩，趋于零）。
• λ过小：正则化效果弱，可能过拟合。
• 调参方法：网格搜索（GridSearchCV）或交叉验证。

from sklearn.model_selection import GridSearchCV
params = {'alpha': [0.001, 0.01, 0.1, 1.0]}
grid = GridSearchCV(Ridge(), params, cv=5)
grid.fit(X_train, y_train)
print(grid.best_params_)

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8. 正则化的数学本质

• 贝叶斯视角：L2正则化等价于参数的高斯先验，L1等价于拉普拉斯先验。
• 优化视角：在损失函数中添加约束条件，限制参数空间。

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9. 总结

• 核心目标：通过惩罚大权重降低模型复杂度，提升泛化能力。
• 关键公式：
  [
  J_{\text{reg}} = J(\mathbf{w}, b) + \lambda \cdot R(\mathbf{w})
  ]
• 实践要点：
  1. 数值型特征需先标准化（正则化对尺度敏感）。
  2. 逻辑回归、神经网络等模型均可应用正则化。
  3. 通过验证集性能选择最优的 ( \lambda )。

正则化是机器学习中对抗过拟合的基石技术，合理使用能显著提升模型鲁棒性！