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做网站需要买域名吗营销推广案例

wzjs 2025/7/19 10:25:19

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前言

本文隶属于专栏《机器学习数学通关指南》，该专栏为笔者原创，引用请注明来源，不足和错误之处请在评论区帮忙指出，谢谢！

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用二阶信息加速你的模型收敛

📚 引言

在机器学习的优化过程中，一阶方法（如梯度下降）虽然实现简单，但收敛速度常常不尽如人意。二阶优化方法通过利用目标函数的曲率信息（Hessian矩阵），能够显著提升收敛速度和优化效率。本文将深入介绍三种主流二阶优化算法，并结合实例分析其应用场景。

1. 牛顿法（Newton’s Method）🔍

核心思想

牛顿法基于目标函数的二阶泰勒展开，同时利用梯度方向和曲率信息进行参数更新：

$w^{t+1} = w^t - H^{-1}(w^t) \cdot \nabla f(w^t)$

其中：

$H(w^t)$ 是在点 $w^t$ 处的Hessian矩阵
$\nabla f(w^t)$ 是梯度向量

数学推导

牛顿法的基本原理来自于目标函数的二阶泰勒展开：

$\approx f(w^t) + \nabla f(w^t)^T(w-w^t) + \frac{1}{2}(w-w^t)^T H(w^t)(w-w^t)$

对此近似函数求导并令其为零，解得下一个迭代点：

$H(w^t)(w^{t+1}-w^t) = -\nabla f(w^t)$
$w^{t+1} = w^t - H^{-1}(w^t)\nabla f(w^t)$

特点 ✅❌

优点：

收敛速度快（二阶收敛率），特别是在接近最优点时
方向选择更精确，避免了梯度下降的"之字形"路径
对于二次函数，理论上一步可达最优解

缺点：

计算和存储 Hessian 矩阵成本高 ( $O(d^3)$ 复杂度计算逆矩阵)
需要 Hessian 正定，否则可能不收敛或朝错误方向前进
在非凸问题上可能陷入鞍点或局部最小值

应用场景 🎯

小规模或中等维度的优化问题
凸优化问题，尤其是目标函数高度光滑
精确解的数值优化，如统计中的最大似然估计
需要快速收敛的场景，如微调模型的最后阶段

代码示例

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize# 定义目标函数及其梯度和Hessian
def objective(x):return x[0]**2 + x[1]**2def gradient(x):return np.array([2*x[0], 2*x[1]])def hessian(x):return np.array([[2, 0], [0, 2]])# 初始点
x0 = np.array([1.0, 1.0])# 使用Newton-CG方法（牛顿法的变种）
result = minimize(objective, x0, method='Newton-CG',jac=gradient, hess=hessian,options={'xtol': 1e-8, 'disp': True})print(f"最优解: {result.x}")
print(f"迭代次数: {result.nit}")

2. 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）🧠

核心思想

拟牛顿法通过构建 Hessian 矩阵或其逆矩阵的近似，避免了直接计算这些昂贵的矩阵：

$w^{t+1} = w^t - B_t \cdot \nabla f(w^t)$

其中 $B_t$ 是 Hessian 逆矩阵的近似。

BFGS 算法

Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno (BFGS) 算法是最流行的拟牛顿方法之一：

计算梯度差 $y_t = \nabla f(w^{t+1}) - \nabla f(w^t)$
计算位移向量 $s_t = w^{t+1} - w^t$
更新近似的 Hessian 逆矩阵：

$B_{t+1} = (I - \rho_t s_t y_t^T)B_t(I - \rho_t y_t s_t^T) + \rho_t s_t s_t^T$

其中 $\rho_t = \frac{1}{y_t^T s_t}$

这种更新确保了 $B_{t+1}$ 保持对称正定，同时满足"割线条件"。

L-BFGS 算法

Limited-memory BFGS (L-BFGS) 是针对高维问题的内存优化版本：

不存储完整的 $B_t$ 矩阵，只保存最近 m 次迭代的向量对 $s_i,y_i)$
通过这些向量对隐式地表示 $B_t$
内存需求从 $O(d^2)$ 降至 $O (m d)$ ，其中 m≪d

特点 ✅❌

优点：

避免了直接计算 Hessian 矩阵，大幅降低计算成本
保持了超线性收敛速度（介于一阶和二阶之间）
L-BFGS 适用于高维问题，内存需求低
比牛顿法更稳定，不易受非正定 Hessian 影响

缺点：

收敛速度略逊于完全牛顿法
需要存储历史信息，BFGS 在极高维问题上仍有内存瓶颈
L-BFGS 中历史长度 m 是需要调优的超参数

应用场景 🎯

中大规模机器学习问题的训练
许多常见 ML 模型的求解器：逻辑回归、线性 SVM、CRF 等
scikit-learn 中的 lbfgs 和 liblinear 求解器
深度学习框架中的高级优化器选项

代码示例

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize# 定义目标函数及其梯度
def rosenbrock(x):return sum(100.0*(x[1:]-x[:-1]**2.0)**2.0 + (1-x[:-1])**2.0)def rosenbrock_grad(x):xm = x[1:-1]xm_m1 = x[:-2]xm_p1 = x[2:]der = np.zeros_like(x)der[1:-1] = 200*(xm-xm_m1**2) - 400*(xm_p1 - xm**2)*xm - 2*(1-xm)der[0] = -400*x[0]*(x[1]-x[0]**2) - 2*(1-x[0])der[-1] = 200*(x[-1]-x[-2]**2)return der# 初始点 - 5维 Rosenbrock 函数
x0 = np.array([0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5])# 使用L-BFGS-B方法
result_lbfgs = minimize(rosenbrock, x0, method='L-BFGS-B', jac=rosenbrock_grad, options={'gtol': 1e-6, 'disp': True})print(f"L-BFGS 最优解: {result_lbfgs.x}")
print(f"L-BFGS 迭代次数: {result_lbfgs.nit}")

3. 共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）⚙️

核心思想

共轭梯度法通过构建一组"共轭方向"来实现高效优化，避免在搜索过程中重复已经优化过的方向：

初始方向为负梯度： $d^0 = -\nabla f(w^0)$
后续方向通过组合当前梯度和前一个方向得到：

$d^{t+1} = -\nabla f(w^{t+1}) + \beta_t d^t$

其中 $\beta_t$ 通过不同公式计算（如 Fletcher-Reeves 或 Polak-Ribière 公式）：

Fletcher-Reeves： $\beta_t = \frac{||\nabla f(w^{t+1})||^2}{||\nabla f(w^t)||^2}$

Polak-Ribière： $\beta_t = \frac{\nabla f(w^{t+1})^T[\nabla f(w^{t+1}) - \nabla f(w^t)]}{||\nabla f(w^t)||^2}$

数学原理

在二次函数情况下，共轭梯度确保了搜索方向 $d^i$ 和 $d^j$ 关于 Hessian 矩阵 $H$ 是共轭的：

$d^i H d^j = 0, \quad \forall i \neq j$

这保证了算法在 n 维空间中最多需要 n 步即可达到最优解。

特点 ✅❌

优点：

内存需求极低，只需存储几个向量（ $O (d)$ 空间复杂度）
理论上，对于 n 维二次函数，最多 n 步收敛
不需要矩阵存储或操作，适合大规模稀疏问题
与预处理技术结合效果显著

缺点：

对非二次函数需要重启策略，防止共轭性失效
收敛速度通常慢于拟牛顿法
线性收敛，对病态问题性能可能不佳
步长选择对收敛影响较大

应用场景 🎯

大规模线性系统求解（如 $A x = b$ 问题）
深度学习中的参数优化，特别是内存受限场景
稀疏问题，如大规模图像处理和信号处理
结合预处理技术用于加速训练神经网络

代码示例

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize# 定义二次函数及其梯度
def quadratic(x):A = np.array([[2, 1], [1, 4]])b = np.array([1, 2])return 0.5 * x.dot(A).dot(x) - b.dot(x)def quadratic_grad(x):A = np.array([[2, 1], [1, 4]])b = np.array([1, 2])return A.dot(x) - b# 初始点
x0 = np.array([0.0, 0.0])# 使用共轭梯度法
result_cg = minimize(quadratic, x0, method='CG',jac=quadratic_grad,options={'gtol': 1e-6, 'disp': True})print(f"CG最优解: {result_cg.x}")
print(f"CG迭代次数: {result_cg.nit}")

方法对比 📊

方法	收敛速度	计算复杂度	内存需求	最佳应用场景
牛顿法	二阶	$O(d^3)$	$O(d^2)$	小规模问题，精确Hessian可计算
BFGS	超线性	$O(d^2)$	$O(d^2)$	中等规模，要求快速收敛
L-BFGS	超线性	$O (m d)$	$O (m d)$	大规模，内存受限但需优秀收敛性
共轭梯度法	线性/超线性	$O (d)$	$O (d)$	超大规模稀疏问题，极限内存约束

实践中的选择指南 🧭

问题规模是决定因素：
- 低维问题（<100维）：牛顿法或BFGS
- 中等维度（100-10000维）：L-BFGS
- 高维问题（>10000维）：共轭梯度法或随机近似方法
结合深度学习框架：
- TensorFlow/PyTorch中可通过scipy.optimize接口使用这些优化器
- 深度学习框架通常提供这些优化器的随机变种
预处理技术：
- 对于病态问题，结合对角Hessian近似或AdaGrad类预处理器
- 共轭梯度法特别推荐使用预处理增强性能

实战案例：优化器性能对比 🔬

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize
import time# 创建Rosenbrock函数（著名的优化测试函数）
def rosen(x):return sum(100.0*(x[1:]-x[:-1]**2.0)**2.0 + (1-x[:-1])**2.0)def rosen_grad(x):xm = x[1:-1]xm_m1 = x[:-2]xm_p1 = x[2:]der = np.zeros_like(x)der[1:-1] = 200*(xm-xm_m1**2) - 400*(xm_p1 - xm**2)*xm - 2*(1-xm)der[0] = -400*x[0]*(x[1]-x[0]**2) - 2*(1-x[0])der[-1] = 200*(x[-1]-x[-2]**2)return der# 测试不同优化器
methods = ['BFGS', 'L-BFGS-B', 'CG', 'Newton-CG']
results = {}# 10维Rosenbrock函数
dim = 10
x0 = np.ones(dim) * 1.2for method in methods:start_time = time.time()if method == 'Newton-CG':# 为Newton-CG定义Hessiandef rosen_hess(x, p):# 为示例简化，返回对角Hessian近似return 200 * presult = minimize(rosen, x0, method=method, jac=rosen_grad, hessp=rosen_hess)else:result = minimize(rosen, x0, method=method, jac=rosen_grad)runtime = time.time() - start_timeresults[method] = {'success': result.success,'iterations': result.nit,'function_calls': result.nfev,'runtime': runtime}# 打印结果
for method, res in results.items():print(f"\n{method} 优化器结果:")print(f"成功: {res['success']}")print(f"迭代次数: {res['iterations']}")print(f"函数评估次数: {res['function_calls']}")print(f"运行时间: {res['runtime']:.4f}秒")