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从零开始刷算法——二分-搜索旋转排序数组

news 2025/11/15 7:02:06

一、题目概述

给你一个旋转排序数组，其中没有重复元素，让你在其中查找指定元素 target。

例如：

nums = [4,5,6,7,0,1,2]  
target = 0 → 输出 4  
target = 3 → 输出 -1

旋转数组的结构是这样的：

原有序数组：0 1 2 4 5 6 7
旋转 k 次：   4 5 6 7 0 1 2↑       ↑左段仍有序   右段有序

二、我们采用的策略：两次二分

本题最佳方案之一：

✔ 第一次二分：找到旋转点（最小值的位置）

也就是找到整个数组中的 最小值的下标。

例如：

[4,5,6,7,0,1,2]  
最小值在 4 号位

第二次二分：选择正确的区间做普通的二分查找

因为旋转后的数组其实是两段独立的有序数组：

[4 5 6 7] | [0 1 2]

找到最小值的下标 i，就能得到两个有序区间：

第一区：[0 ... i-1]
第二区：[i ... n-1]

然后根据 target 和 nums.back() 的关系，判断 target 落在哪个有序区间，再进行一次普通二分法。

三、第一次二分：寻找最小值（旋转点）

代码如下：

int findMin(vector<int>& nums) {int left = 0;int right = nums.size() - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] > nums.back()) {left = mid + 1;}else {right = mid - 1;}}return left;
}

为什么比较 `nums[mid] > nums.back()`？

因为旋转数组有一个性质：

比末尾大的数字一定在左侧有序段（红区）
比末尾小的数字一定在右侧有序段（蓝区，也就是最小值所在段）

我们用“红蓝染色法”理解：

区域	特点	与 nums.back() 的关系
红区（左段）	值更大	`nums[mid] > nums.back()`
蓝区（右段）	值更小（包括最小值）	`nums[mid] <= nums.back()`

目标：

找到 蓝色区域（右段）中的第一个数，它就是最小值。

所以 right = mid - 1 是为了锁定蓝区的第一个元素。

四、第二次二分：普通二分查找（带红蓝染色法）

为了在有序区间查找 target，我们写了一个精确的 lower_bound：

int lower_bound(vector<int>& nums, int left, int right, int target) {while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] < target) { // 左边红区left = mid + 1;}else {                  // 右边蓝区right = mid - 1;}}return nums[left] == target? left : -1; 
}

红区：小于 target
蓝区：大于等于 target
最终 left 会来到 蓝区的第一个位置。

如果该位置恰好等于 target，则返回下标，否则返回 -1。

五、主函数逻辑：根据 target 落在哪一段

int search(vector<int>& nums, int target) {int i = findMin(nums);// 第一段if (target > nums.back()){return lower_bound(nums, 0, i - 1, target);}else return lower_bound(nums, i, nums.size() - 1, target);
}

逻辑非常清晰：

若 target > nums.back()
→ target 必在左侧红区 [0 ... i-1]
否则
→ target 在右侧蓝区 [i ... n-1]

这是由旋转数组的结构决定的。

六、完整代码（推荐写法）

class Solution {int findMin(vector<int>& nums) {int left = 0;int right = nums.size() - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] > nums.back()) {left = mid + 1;}else {right = mid - 1;}}return left;}int lower_bound(vector<int>& nums, int left, int right, int target) {while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if(nums[mid] < target) { left = mid + 1;}else {right = mid - 1;}}return nums[left] == target? left : -1; }
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int i = findMin(nums);if (target > nums.back()){return lower_bound(nums, 0, i - 1, target);}else return lower_bound(nums, i, nums.size() - 1, target);}
};