C++ 二叉搜索树（BST）完全指南：从概念原理、核心操作到底层实现

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🎬 博主简介：

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前言：

在数据结构中， 二叉搜索树（Binary Search Tree，简称 BST） 是一种兼具 “有序性” 与 “高效操作” 的树形结构，它通过特定的节点值规则，让增删查操作的时间复杂度在理想情况下达到O(log₂N)但是平均来看还是O(N)。本文将从二叉搜索树的核心概念入手，结合实战代码，逐步拆解其插入、查找、删除三大核心操作，同时分析性能特点与实际应用场景，帮你彻底掌握这一基础数据结构。

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一. 二叉搜索树的核心概念：什么是 BST？

二叉搜索树又称二叉排序树，它要么是空树，要么是满足以下值分布规则的二叉树：

• 若左子树不为空，则左子树中所有节点的值 ≤ 根节点的值；
• 若右子树不为空，则右子树中所有节点的值 ≥ 根节点的值；
• 左、右子树也分别是二叉搜索树（递归定义）。
• 二叉搜索树可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值,multimap/multiset支持插入相等值

关键特性：中序遍历为有序序列
二叉搜索树的核心价值在于 “中序遍历结果是升序序列”。例如，下图 BST 的中序遍历结果为1 3 4 6 7 8 10 13 14，天然具备 “排序” 属性，这也是其 “二叉排序树” 名称的由来。

关于 “相等值” 的约定
BST 对相等值的处理可灵活定义，具体取决于场景：
不支持相等值插入（如map/set底层）：插入时若值已存在，直接返回失败；
支持相等值插入（如multimap/multiset底层）：相等值需统一插入左子树或右子树（保持逻辑一致，避免后续查找混乱）。
本文实现的 BST 默认不支持相等值插入。

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二. 二叉搜索树的性能分析：理想与最差情况

BST 的操作效率直接取决于树的 “高度”，而高度由节点插入顺序决定，存在两种极端情况：

场景	树的形态	高度	增删查时间复杂度	典型插入顺序	核心影响因素
理想情况	完全二叉树（接近平衡）	${\log }_{2}N$	$O({\log }_{2}N)$	随机插入（如8,3,10,1,6）	插入顺序无序，节点均匀分布在左右子树
最差情况	单支树（退化为链表）	$N$	$O(N)$	有序插入（如1,3,6,8,10）	插入顺序严格递增/递减，节点仅向单侧延伸

综合来看二叉搜索树增删查改时间复杂度

与 “二分查找” 的对比
二分查找虽也能实现O(log₂N)的查找效率，但存在明显缺陷：

• 依赖支持随机访问的结构（如数组），且需提前排序；
• 插入 / 删除效率低：数组中插入 / 删除元素需挪动大量数据，时间复杂度为O(N)。

而 BST 无需提前排序，且插入 / 删除时仅需修改节点指针，避免了数据挪动，这也是其在动态数据场景中更具优势的原因。

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三. 二叉搜索树的实战实现：基于 BinarySearchTree.h

采用 C++ 模板实现，支持泛型K（，核心包含节点结构定义与BST 类的三大操作（插入、查找、删除），同时提供中序遍历接口验证有序性。

3.1 节点结构定义：BSTreeNode

BST 的节点需存储 “值” 与 “左右子树指针”，模板化设计使其可适配 int、string 等多种类型：

#include<iostream>
using namespace std;template<class K>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode<K>* _left;  // 左子树指针BSTreeNode<K>* _right; // 右子树指针K _key;                // 节点键值// 构造函数：初始化指针为空，键值为传入值BSTreeNode(const K& key): _left(nullptr), _right(nullptr), _key(key){}
};

3.2 BST 类核心操作：Insert、Find、Erase

BST 类封装了树的根节点_root，并通过私有辅助函数_InOrder实现中序遍历。以下是三大核心操作的详细实现与解析：

3.2.1 插入操作（Insert）

插入的核心逻辑是 “按 BST 规则找到空位置，创建新节点并链接”，步骤如下：

1. 若树为空（_root == nullptr），直接创建根节点；
2. 树非空时，用cur指针遍历树：
   • 若 cur->_key < 插入值 ：向右子树移动（cur = cur->_right）；
   • 若 cur->_key > 插入值：向左子树移动（cur = cur->_left）；
   • 若值相等（不支持插入），返回false；

找到空位置后，通过parent指针（记录cur的父节点）将新节点链接到树中。

代码实现（BinarySearchTree.h）：

template<class K>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K> Node;
public:bool Insert(const K& key){// 情况1：树为空，直接创建根节点if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}// 情况2：树非空，遍历找插入位置Node* parent = nullptr; // 记录cur的父节点（用于后续链接新节点）Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right; // 比当前节点大，向右走}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;  // 比当前节点小，向左走}else{// 键值已存在，不支持插入，返回falsereturn false;}}// 创建新节点，并链接到parent的左/右孩子cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur; // 插入值比parent大，作为右孩子}else{parent->_left = cur;  // 插入值比parent小，作为左孩子}return true;}// 中序遍历：验证BST的有序性void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);  // 遍历左子树cout << root->_key << " "; // 访问当前节点_InOrder(root->_right); // 遍历右子树}Node* _root = nullptr; // 树的根节点，初始为空
};

3.2.2 查找操作（Find）

查找的逻辑与插入类似，按 BST 规则遍历树，步骤如下：

1. 从根节点_root开始，用cur指针遍历；
2. 若 cur->_key < 目标值：向右走；若 cur->_key > 目标值：向左走；
3. 找到目标值返回true，遍历到空节点（未找到）返回false。

代码实现（BinarySearchTree.h）：

bool Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right; // 目标值大，向右找}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;  // 目标值小，向左找}else{// 找到目标值，返回truereturn true;}}// 遍历到空，未找到return false;
}

如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回

3.2.3 删除操作（Erase）：最复杂的核心操作

删除的难点在于 “删除节点后，需保持 BST 的规则不变”。根据删除节点（记为cur）的子节点数量，分为 4 种情况，其中前 3 种可合并处理，第 4 种需用 “替换法” 删除：

情况	子节点状态	处理方案	关键注意事项
1	左右子树均为空（叶子节点）	直接删除cur节点，将parent指向cur的孩子指针置空（可归为情况2或3统一处理）	需判断cur是否为根节点（若为根，直接将_root置空，无需处理parent）
2	左子树为空，右子树非空	将parent指向cur的孩子指针，修改为指向cur->_right，随后删除cur节点	若cur是根节点，直接让_root = cur->_right，跳过parent判断
3	右子树为空，左子树非空	将parent指向cur的孩子指针，修改为指向cur->_left，随后删除cur节点	与情况2对称，根节点处理逻辑为_root = cur->_left
4	左右子树均非空	1. 找cur右子树的“最小节点”（最左节点）或左子树的“最大节点”（最右节点）； 2. 将替换节点的键值（及值，若为key-value模型）赋给cur； 3. 删除替换节点（替换节点满足情况2或3，直接处理）	替换节点的父节点指针需正确修改（如替换节点是父节点左孩子，需将父节点左指针指向替换节点的右子树）

代码实现（BinarySearchTree.h）：

bool Erase(const K& key)
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;// 第一步：找到要删除的节点curwhile (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 第二步：找到节点，按子节点情况处理删除// 情况2：左子树为空，右子树非空if (cur->_left == nullptr){// 若cur是根节点，直接让根指向右子树if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{// 判断cur是parent的左/右孩子，链接对应子树if (cur == parent->_left)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur; // 释放节点内存return true;}// 情况3：右子树为空，左子树非空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_left)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}// 情况4：左右子树均非空（替换法删除）else{// 找cur右子树的最小节点（最左节点）作为替换节点// 还可以找左子树的最大节点(最右节点)// 这里是找右子树最左节点Node* replaceParent = cur; // 替换节点的父节点Node* replace = cur->_right;while (replace->_left) // 一直向左走，直到左子树为空{replaceParent = replace;replace = replace->_left;}// 替换：将replace的键值赋给cur（值替换，指针不变）cur->_key = replace->_key;// 删除replace节点（replace的左子树为空，符合情况2）if (replaceParent->_left == replace)replaceParent->_left = replace->_right;elsereplaceParent->_right = replace->_right;delete replace;return true;}}}// 未找到要删除的节点return false;
}

关键说明：情况 4 中选择 “右子树最小节点” 作为替换节点，是因为该节点的值是cur右子树中最小的，替换后仍满足 BST 规则（左子树≤根≤右子树）；同理，选择 “左子树最大节点” 也可，逻辑对称

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四. 实战测试：基于实战代码验证 BST 操作

test.cpp通过引入BinarySearchTree.h，实现 BST 的插入、删除与中序遍历验证，代码如下：

#include"BinarySearchTree.h"int main()
{// 测试数据：插入序列int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };BSTree<int> t;// 1. 插入所有元素for (auto& e : a){t.Insert(e);}cout << "插入后中序遍历（应有序）：";t.InOrder(); // 输出：1 3 4 6 7 8 10 13 14// 2. 删除测试：逐步删除节点，验证有序性t.Erase(3);   // 删除左子树非空、右子树非空的节点（情况4）cout << "删除3后中序遍历：";t.InOrder(); // 输出：1 4 6 7 8 10 13 14t.Erase(8);   // 删除根节点（左右子树非空，情况4）cout << "删除8后中序遍历：";t.InOrder(); // 输出：1 4 6 7 10 13 14t.Erase(1);   // 删除叶子节点（左右子树为空，情况1）cout << "删除1后中序遍历：";t.InOrder(); // 输出：4 6 7 10 13 14t.Erase(10);  // 删除右子树非空、左子树非空的节点（情况4）cout << "删除10后中序遍历：";t.InOrder(); // 输出：4 6 7 13 14// 3. 清空树（删除所有元素）for (auto& e : a){t.Erase(e);}cout << "清空后中序遍历（空行）：";t.InOrder(); // 输出空行return 0;
}

结果符合预期，证明 BST 的插入、删除操作均保持了 “中序遍历有序” 的核心特性。

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五. BST 的扩展：key/value 模型（支持映射场景）

上述实现是 “key 模型”（仅存储键值，用于判断 “存在性”，不能修改），但实际场景中常需 “key-value 模型”（键值对应数据，如字典、统计次数,可以修改value）。BinarySearchTree.h可扩展为模板template<class K, class V>，节点同时存储_key和_value。

5.1 key-value 模型节点与类实现

// key-value模型节点
template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{K _key;V _value;BSTreeNode<K, V>* _left;BSTreeNode<K, V>* _right;BSTreeNode(const K& key, const V& value): _key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};// key-value模型BST类
template<class K, class V>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:// 插入：需传入key和valuebool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false; // 不支持重复key}}cur = new Node(key, value);if (parent->_key < key)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;}// 查找：返回节点指针，可通过节点访问valueNode* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key)cur = cur->_right;else if (cur->_key > key)cur = cur->_left;elsereturn cur; // 返回节点，后续可操作value}return nullptr;}//erase跟上面没区别，这里就不展示了// 中序遍历：输出key和valuevoid InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << " ";_InOrder(root->_right);}Node* _root = nullptr;
};

5.2 key-value 模型实战场景

场景 1：简单字典（中英互译）

int main()
{//简单字典key_value::BSTree<string, string> dict;dict.Insert("sort", "排序");dict.Insert("string", "字符串");dict.Insert("insert", "插入");dict.Insert("erase", "删除");dict.Insert("move", "移动");dict.Insert("tree", "树");dict.Insert("tree", "树*****");//插入失败，可以看看插入的逻辑，主要是key判断// 内置类型转换成类类型 -> 构造函数// 类类型转换成内置类型 -> operator 内置类型string str;int i = 0;//while ((cin >> str).operator bool())while(cin>>str){auto* node = dict.Find(str);if (node){cout << "->" << node->_value << endl;}else{cout << "无此单词，请重新输入" << endl;}}return 0;
}

场景 2：单词统计（统计水果出现次数）

int main()
{string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };key_value::BSTree<string, int> CountTree;for (auto& str : arr){//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);auto ret = CountTree.Find(str);// 第一次出现，插入<水果, 1>if (ret == nullptr){CountTree.Insert(str, 1);}else{// 已出现，次数+1ret->_value++;}}// 中序遍历：按水果名称升序输出次数CountTree.InOrder();return 0;
}

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结尾：

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结语：二叉搜索树（BST）以 “左小右大” 的规则，实现了动态数据的有序管理，中序遍历的有序性与指针操作的灵活性是其核心优势。插入、查找逻辑直观，删除操作的场景化处理（尤其是替换法）则是掌握关键，但其性能受插入顺序影响大，单支树退化问题也为后续平衡树（AVL、红黑树）的学习埋下伏笔。作为基础树形结构，BST 是理解复杂数据结构设计逻辑的重要基石。

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