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题目

$x,y>0$ 且满足 $\frac{8}{x^2}+\frac{1}{y}=1$，求 $x+y$ 最小值

思路

首先注意到当 $x=4,y=2$ 时原式取得最小值，我们围绕这个进行放缩。

已知的式子不是齐次的，我们可以针对取等条件来放缩成齐次的。

不妨假定 $t$ 使 $\frac{8}{x^2}+t\ge \frac{4\sqrt{2t}}{x}$ 取等条件是 $x=4$，则 $\frac{8}{4^2}=t$，即 $t=\frac{1}{2}$。

然后就有 $\frac{4}{x}+\frac{1}{y}\le \frac{4}{x^2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}$

剩下的部分结合“1”的代换，可以用 $x+y\ge \frac{2}{3}(x+y)(\frac{4}{x}+\frac{1}{y})=\frac{2}{3}(5+\frac{4y}{x}+\frac{x}{y})\ge 6$ 解决。第二次用基本不等式取等条件还是 x = 4,y = 2$。

因此，不等式题目结合取等条件可以随便放缩。