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二项分布习题集 · 答案与解析篇

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1. 基础概念

1.1 定义

PMF
[
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p){n-k}, \quad k=0,1,\dots,n.
]
$n$：独立试验次数；$p$：单次成功概率。

1.2 伯努利关系

$X\sim \mathrm{Bin}(n,p)$ 可以看作 $n$ 个独立伯努利随机变量之和：
[
X=\sum_{i=1}^{n}X_i,\quad X_i\sim\mathrm{Bern}§.
]

1.3 期望方差

[
E[X]=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p).
]

1.4 CDF

[
F(k)=P(X\le k)=\sum_{j=0}^{{k}\binom{n}{j}p}{j}(1-p)^{n-j},
]
需要数值累加或用不完全 Beta 函数 $I_{1-p}(n-k,k+1)$ 实现。

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2. 理论推导

2.1 MGF

[
M_X(t)=E[e^{{tX}]=\bigl(1-p+pe}{t}\bigr)^{n}.
]
前两阶矩由对 $t$ 求导验证即 $np$、$np(1-$