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一、动态规划DP 回文子串问题

1、回文子串 647

dp数组如果采用一维的，很难进行推导。采用二维，一开始的想法是dp[i][j]表示s[i]~s[j]之间回文子串的个数，这样发现在推导递推公式时遇到困难，例如在s[i]==s[j]时，不知道s[i+1:j-1]是否是回文子串。所以这样的定义不合理，所以让dp[i][j]表示s[i:j]是否是回文子串就好。
这样递推公式就好推导，当s[i]==s[j]，如果j-i<=2,则dp[i][j] = 1，否则dp[i][j] = dp[i+1][j-1]；当s[i]!=s[j]，dp[i][j] = 0。再在循环里累加这个dp[i][j]就是所有的回文子串数量。
另外，关于遍历顺序需要提一下，递推公式dp[i][j] = dp[i+1][j-1]，则需要提前知道dp[i+1][j-1]，所以i应该是逆序，j正序。

class Solution {
public:int countSubstrings(string s) {int n = s.size();vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));int ans = 0;for(int i=n-1; i>=0; --i){for(int j=i; j<n; ++j){if(s[i] == s[j] && (j-i<=2 || dp[i+1][j-1])){dp[i][j] = 1;++ans;}}}return ans;}
};

这题更优的解法是采用双指针，能把空间复杂度优化到O(1)。有一个元素为中心点和两个元素为中心点两种情况

class Solution {int extend(const string &s, int i, int j){int ans = 0;while(i>=0 && j<s.size() && s[i--]==s[j++])++ans;return ans;}
public:int countSubstrings(string s) {int ans = 0;for(int i=0; i<s.size(); ++i){ans += extend(s, i, i);ans += extend(s, i, i+1);}return ans;}
};

2、最长回文子序列 516

这题和上一题很相似，只不过由回文子串变成回文子序列。代码如下：

class Solution {
public:int longestPalindromeSubseq(string s) {int n = s.size();vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));for(int i=0; i<n; ++i)dp[i][i] = 1;for(int i=n-2; i>=0; --i){for(int j=i+1; j<n; ++j){if(s[i]==s[j] && (dp[i+1][j-1] || j-i==1)){dp[i][j] = 2 + dp[i+1][j-1];}else{dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);}}}return dp[0][n-1];}
};

二、写在后面

回文子串采用二维dp数组比较好理解，比较经典的转移关系是$dp[i][j]=dp[i+1][j-1]$相似的形式，i逆序遍历，j正序遍历$。