数学的大厦（三）：加法、递归、向前数数

我们继续构建数学的大厦！首先，这里什么都没有，纯粹的空无，空集：∅ 或 {}。这是我们的基石，一个没有任何元素的集合。

现在，我们可以把这片虚无放进一个盒子里，我们得到：{∅}，一个包含空集的集合。这是“ 1 ”。不是因为它有一个叫做“ 1 ”的元素，而是因为它本身就是“ 1 ”的结构。

现在我们有两个东西可以用，空集 ∅ 和集合 {∅}。把它们都放进一个盒子里：{∅, {∅}}。这是“ 2 ”。它有两个元素。

“ 3 ”？看看我们目前拥有的所有数字：{∅, {∅}, {∅, {∅}}}

 4 ？{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}

每个数字都包含了它之前的所有数字，3 实际上包含了 0 、1 和 2 ，它们嵌套在 3 之中。我们从虚无开始，构建了计数本身！（该定义由冯•诺伊曼提出）

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在这个构造中，1 ∈ 2（1 是 2 的元素）。实际上，2 ∈ 3，3 ∈ 4……每个数字都包含了它的所有前驱数。所以“小于”就变成了“是……的元素”或“是……的子集”。很妙，对吧？

但是想要做加法…啊，你发现了其中的难点。如果我们只是简单地合并集合，那么：

1 ∪ 2 = {∅} ∪ {∅, {∅}} = {∅, {∅}} = 2

这根本不是加法！事实上，我们不能仅仅通过合并这些集合来定义加法。我们得更聪明些，我们用递归的方式定义加法：

n + 0 = n

n + (m+1) = (n+m) + 1

所以我们把加法构建成一个运算，一个可以展开的递归过程。加法不是什么神秘的合并运算，它实际上就是——向前数数！

3 + 2 的意思是：从 3 开始，然后向前走一步（加 1），再向前走一步（再加 1）。

3 + 2 = (3 + 1) + 1 = 4 + 1 = 5

n + (m + 1) = (n + m) + 1 = (n + 1 + 1 … + 1) + 1

我们从空集开始，构建“后继”的概念，把所有已计算的元素放入一个新的盒子里，然后加法就变成了：“我要走多少步后继？”

所以从某种意义上说，所有算术最终都归结为：零（空集），下一步（后继），重复执行某项操作（递归）。其他一切，乘法、乘方等等，都是由这些部分构建而成的。

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皮亚诺公理与加法

意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）在其 1889 年的著作《算术原理，新方法阐述》（Arithmetices principia, nova methodo exposita）中引入了一些公理。它们为自然数提供了形式化的基础，并允许对加法等算术运算进行递归定义。

递归定义通常使用后继函数 S(n) 来表示，其中 S(n) = n+1。

基本情况：n + 0 = n

递归步骤：n + S(m) = S(n + m)

此定义仅依赖于自然数（从 0 或 1 开始）和后继函数的基本概念，这两者都是皮亚诺公理建立的原始概念。