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霍夫变换（Hough Transform）是一种经典的形状检测算法，尤其在直线、圆等几何图形识别中应用广泛。它通过将图像空间中的特征映射到参数空间进行投票，最终找到最匹配的几何形状。以下从原理到实战的全面解析：

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一、霍夫变换的核心思想

1. 图像空间 → 参数空间

• 问题：在图像中直接检测直线（或圆）困难，因为噪声、断裂会影响结果。
• 解决方案：将检测问题转换为参数空间的峰值搜索问题。

2. 以直线检测为例

• 图像空间：一条直线由无数像素点组成。
• 参数空间（霍夫空间）：直线表示为 (ρ, θ) 极坐标参数：
  • ρ：直线到原点的垂直距离
  • θ：直线的法线与x轴的夹角

3. 投票机制

• 图像中每个边缘点对应参数空间的一条曲线，多条曲线的交点即为潜在的直线参数。

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二、霍夫直线检测（从像素到参数）

1、霍夫直线检测流程

1. 对每个边缘点 (x,y)：

   • 穷举所有可能的θ（例如 0°, 1°, ..., 180°）
   • 对每个θ，计算对应的ρ：ρ = x·cosθ + y·sinθ
   • 将结果 (θ, ρ) 记录到投票表（累加器）

2. 统计投票结果：

   • 所有点计算完成后，投票数最多的 (θ, ρ) 组合即为图像中的直线。

3. 阈值筛选：

   • 仅保留投票数超过阈值的组合（排除噪声干扰）。

2、霍夫直线检测案例

输入图像 (5x5 像素)

假设有一张微型二值图像，白色（255）为边缘点，黑色（0）为背景：

import numpy as np
image = np.array([[0,   0,   255, 0,   0],[0,   255, 0,   255, 0],[255, 0,   0,   0,   255],[0,   255, 0,   255, 0],[0,   0,   255, 0,   0]
], dtype=np.uint8)

这个图像是一个X形交叉的直线，我们手动模拟霍夫变换检测过程。

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步骤1：提取边缘点坐标

找到所有白色像素的位置（边缘点）：

(0,2), 
(1,1), (1,3), 
(2,0), (2,4), 
(3,1), (3,3), 
(4,2)

步骤2：定义参数空间

• 直线参数：使用极坐标 (ρ, θ)
  • ρ（rho）：直线到原点的垂直距离（范围：-max_dist 到 max_dist，这里 max_dist=√(4²+4²)≈5）
  • θ（theta）：角度（范围：0~180°，按步长45°简化计算）

步骤3：为每个边缘点投票

对每个边缘点 (x,y)，计算所有可能的 (ρ, θ)：

• 公式：ρ = x*cosθ + y*sinθ
• 示例1：点 (2,0)
  • θ=0°: ρ = 2cos0 + 0sin0 = 2
  • θ=45°: ρ = 2cos45 + 0sin45 ≈ 1.41
  • θ=90°: ρ = 2cos90 + 0sin90 = 0
  • θ=135°: ρ = 2cos135 + 0sin135 ≈ -1.41

将计算结果填入累加器（投票表）：

θ \ ρ	-2	-1	0	1	2
0°					+1
45°			+1
90°			+1
135°	+1

• 重复所有点的计算：
  • 点 (0,2) → 在 θ=90° 时 ρ=2（投票）
  • 点 (4,2) → 在 θ=90° 时 ρ=4（超出范围忽略）

最终累加器（部分）：

θ \ ρ	-2	-1	0	1	2
0°