数据分析笔记04：抽样方法与抽样分布

数据分析笔记04：抽样方法与抽样分布

总体分类

在进行抽样之前，需要理解总体的分类方式。

有限总体

定义：总体范围明确，总体单位数量有限。

典型实例：

• 区域研究：北京市海淀区所有7岁男孩的身高。
• 人口普查：全国14.44亿人口数据。
• 产品批次：某一批次生产的灯泡使用寿命。
• 公司人员：全班学生的身高数据。

无限总体

定义：总体范围不明确，总体单位数目无限。

典型实例：

• 工厂产品：某工厂生产的所有灯泡（过去、现在、未来）。
• 银行服务：某网点所有办理业务的客户。
• 网店经营：未来10日内进店消费的所有顾客。

简单随机抽样

基本概念

简单随机样本：样本中的每一个个体都以相等的概率从总体中被抽出。

有限总体抽样

从容量为N的有限总体中抽取容量为n的样本，可分为两种方式。

有放回与无放回抽样

经典例子：5个小球（4红1白）。

有放回抽样：

• 第一次抽取红球概率：4/5。
• 将球放回后，第二次抽取红球概率：仍为4/5。
• 特点：每次抽取概率不变。

无放回抽样：

• 第一次抽取红球概率：4/5。
• 第二次抽取红球概率：3/4。
• 特点：每次抽取概率会发生变化。

无限总体抽样

满足条件：

1. 同一总体：样本中每个个体都来自同一总体。
2. 独立性：每个个体的抽取都是相互独立的。

实例：餐厅满意度调查。

• 总体：未来10日内进店消费的所有顾客。
• 样本：前100名顾客。
• 特点：顾客之间相互无关联，满足独立性。

Excel实现方法

方法一：RANDBETWEEN函数

操作步骤：

1. 使用=RANDBETWEEN(1,2500)生成随机编号。
2. 拉取所需样本数量。
3. 复制→选择性粘贴→数值（固定随机数）。
4. 使用VLOOKUP函数匹配对应数据。

VLOOKUP公式：
$$=\text{VLOOKUP(查找值, 数据范围, 列号, 0)}$$

方法二：数据分析工具

启用步骤：

1. 文件→选项→加载项。
2. 勾选“分析工具库”→转到→确定。
3. 数据选项卡→数据分析→抽样。

抽样设定：

• 输入范围：选择数据范围。
• 抽样方法：随机。
• 样本数：输入所需数量。
• 输出区域：选择结果位置。

分层抽样

分层抽样原理

核心思想：将总体分成不同层组，每个个体属于并且仅属于其中某一层组。

分层原则

核心要求：相同性质的个体放在同一层级。

年龄层次划分实例

层级	年龄范围	特征
少年组	10-20岁	年龄相近，消费习惯相似
青年组	21-35岁	购买能力强，新潮偏好
中年组	36-60岁	稳定收入，理性消费
老年组	60岁以上	节约倾向，质量导向

部门层次划分实例

• 市场部：对市场趋势敏感。
• 行政部：注重流程和效率。
• 财务部：关注成本和收益。
• 技术部：重视创新和效能。

抽样方式

等比例抽样

公式：层级i的抽样数 = (层级i的人数 / 总人数) × 总抽样数。

等量抽样

方法：每个层级抽取相同数量的样本。

整群抽样

整群抽样原理

核心思想：将总体分成若干群组，每个群组都具有对总体的代表性。

与分层抽样的区别

比较项目	分层抽样	整群抽样
群组内部	相同性质个体	包含所有总体特征
抽样方式	每层都抽取	随机选择整个群
代表性	层内独特性	群内全面性

实例说明

情景：100个人，10-60岁各年龄段都有。

整群划分：

• 第1群：包含10-60岁所有年龄段的人。
• 第2群：包含10-60岁所有年龄段的人。
• 第3群：包含10-60岁所有年龄段的人。
• 第4群：包含10-60岁所有年龄段的人。

抽样方法：随机选择其中一个群作为样本。

系统抽样

系统抽样原理

核心步骤：

1. 随机排列编码所有个体。
2. 将总体分成k个等长区间。
3. 从第一区间随机选择起始点。
4. 按固定间隔选取后续样本。

计算公式

间隔计算：
$$k=\frac{N}{n}$$

实例说明

情景：从100人中抽取5人。

操作步骤：

1. 间隔计算：k = 100/5 = 20。
2. 区间划分：[1-20], [21-40], [41-60], [61-80], [81-100]。
3. 第一区间随机选择：假设选中3。
4. 按间隔选择：3, 23, 43, 63, 83。

优势：操作简单，样本分布均匀。

点估计

点估计定义

点估计：用样本统计量来估计总体参数的方法。

常见对应关系

总体参数	样本统计量	符号表示
总体平均数	样本平均数	μ ← \bar{X}
总体标准差	样本标准差	σ ← s
总体比例	样本比例	p ← \hat{p}
总体方差	样本方差	σ² ← s²

点估计特点

主要优势：

• 计算简单，结果明确。
• 提供具体数值估计。
• 易于理解和解释。

主要局限：

• 无法提供估计精度信息。
• 不同样本可能得到不同结果。
• 无法量化估计的不确定性。

抽样分布

抽样分布概念

定义：所有可能的样本统计量值的概率分布。

建立过程

步骤说明：

1. 从总体中抽取第1个样本 → 计算\bar{X}_1。
2. 从总体中抽取第2个样本 → 计算\bar{X}_2。
3. 重复过程……
4. 从总体中抽取第k个样本 → 计算\bar{X}_k。
5. 所有\bar{X}_1, \bar{X}_2, …, \bar{X}_k构成抽样分布。

EAI公司实例

背景信息：

• 总体：2500名管理人员。
• 样本大小：每次抽取30人。
• 抽样次数：500次。
• 总体平均薪资：51800美元。
• 总体标准差：4000美元。

抽样分布特征：

• 分布形态：近似正态分布。
• 中心位置：51800美元附近。
• 绝大多数样本平均数集中在中心附近。

抽样分布的数学特征

数学期望

基本公式：
$$E(\bar{X})=\mu$$

重要结论：样本平均数的数学期望等于总体平均数。

标准误差

标准误差是所有点估计的标准差，用于衡量估计的稳定性。

有限总体

$${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$$

略简条件：当n/N ≤ 0.05时，可使用简化公式。

无限总体

$${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

实例计算

EAI公司标准误差计算：

• n/N = 30/2500 = 1.2%。
• 由于1.2% < 5%，可用简化公式。
• \sigma_{\bar{X}} = 4000 / \sqrt{30} = 730.3美元。

抽样分布的形态

总体服从正态分布

结论：当总体服从正态分布时，无论样本大小多少，\bar{X}的抽样分布都服从正态分布。

中心极限定理

适用条件：总体不服从正态分布。

核心结论：当样本大小足够大时，无论总体服从什么分布，\bar{X}的抽样分布都近似正态分布。

样本大小指引

总体分布状态	建议样本大小
一般情况	n ≥ 30
严重偏态	n ≥ 50
正态分布	任意大小

中心极限定理图示

不同总体分布在不同样本大小下的变化：

样本大小	均匀分布	双峰分布	指数分布
n = 2	不对称	不对称	严重右偏
n = 5	轻微不对称	开始对称	右偏减少
n = 30	近似正态	近似正态	近似正态

重要结论：当n=30时，不管总体分布如何，抽样分布都近似正态分布。

抽样分布的应用

概率计算实例

问题设定：EAI人事部认为样本平均数在51800±500美元范围内才是合理估计。

问题：随机抽取30名管理人员，样本平均数落在可接受范围的概率是多少？

解题步骤

步骤1：标准化转换

可接受范围：[51300, 52300]。

标准化计算：
$$Z_1=\frac{51300-51800}{730.3}=-0.68$$
$$Z_2=\frac{52300-51800}{730.3}=0.68$$

步骤2：概率计算

Excel函数计算：
$$P(Z\le 0.68)=\text{NORM.S.DIST(0.68, TRUE)}=0.7523$$
$$P(Z\le -0.68)=\text{NORM.S.DIST(-0.68, TRUE)}=0.2468$$

区间概率：
$$P(-0.68\le Z\le 0.68)=0.7523-0.2468=0.5064$$

结果解释

结论：30名EAI管理人员组成的简单随机样本，能以50.64%的可靠性保证样本平均数落在51800±500美元范围内。

样本大小与抽样分布的关系

样本大小的影响

核心原理：样本大小越大，标准误差越小，估计越精确。

对比分析

EAI实例比较：

样本大小	标准误差	分布特征
n = 30	730.3美元	较宽的分布
n = 100	400美元	更集中的分布

标准误差公式验证：
$${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$
n增大 → \sqrt{n}增大 → \sigma_{\bar{X}}减小。

实际意义：

• 样本大小增加 → 估计更准确。
• 但成本也相应增加。
• 需要在准确性和成本之间取得平衡。

点估计的性质

如何判断一个点估计的好坏？需要检查三个重要性质。

1. 无偏性（Unbiasedness）

定义：样本统计量的数学期望等于所估计的总体参数。

数学表达：
$$E(\text{样本统计量})=\text{总体参数}$$
例：E(\bar{X}) = μ。

无偏与有偏估计

无偏估计：

• 抽样分布的中心 = 总体参数。
• 估计无系统性偏差。
• 长期平均精确。

有偏估计：

• 抽样分布的中心 ≠ 总体参数。
• 存在系统性偏差。
• 结果倾向高估或低估。

2. 有效性（Efficiency）

定义：在所有无偏估计中，标准误差最小的估计最有效。

比较标准：
设有两个无偏估计量T_1和T_2，如果Var(T_1) < Var(T_2)，则T_1比T_2更有效。

实际意义：

• 有效性高 → 估计更稳定。
• 相同样本大小下，结果更可靠。
• 有利于提高统计推断的效率。

3. 一致性（Consistency）

定义：随着样本大小增加，点估计值越来越接近总体参数。

数学表达：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(|\text{样本统计量}-\text{总体参数}|<ϵ)=1$$

实际意义：

• 样本越大，估计越可靠。
• 大样本下的理论保证。
• 指导实际抽样设计。

综合评价标准

理想点估计：同时满足三个性质。

• 无偏性：确保长期准确性。
• 有效性：提供最佳精度。
• 一致性：保证大样本性能。

常见权衡：

• 无偏性 vs 有效性：有时需要取舍。
• 理论性能 vs 实用性：考虑计算复杂度。
• 准确性 vs 成本：考虑样本大小限制。

Excel操作实务指南

基本统计量计算

总体平均数：
$$=\text{AVERAGE(数据范围)}$$

标准误差：
$$=\text{总体标准差 / SQRT(样本大小)}$$

正态概率计算

标准化计算：
$$=(\text{X - 平均数})/\text{标准误差}$$

累积概率：
$$=\text{NORM.S.DIST(Z值, TRUE)}$$

区间概率：
$$=\text{NORM.S.DIST(Z2, TRUE) - NORM.S.DIST(Z1, TRUE)}$$