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第一部分：一般性理論(注定的概率論)第三章計數I：紙牌

news 2025/11/14 15:12:51

第3章是「離散型機率的計數核心」——透過紙牌遊戲（撲克牌、單人紙牌、橋牌），將階乘、二項式係數等計數工具與機率計算深度結合。紙牌問題是機率論中最直觀的离散場景，不僅能鞏固計數基礎，還能培養「避免重複計數」「不遺漏特殊情形」的核心能力。本章會逐節拆解計算細節，對每種紙牌型、每個計數步驟都講透邏輯，並點出常見誤區。

## 3.1 階乘和二項式係數：

計數的「基礎工具」在計算紙牌機率前，必須先掌握兩個核心工具：階乘（處理「有序選擇」）和二項式係數（處理「無序選擇」）。這兩個工具是所有离散計數問題的基石，其組合意義比公式本身更重要。

### 3.1.1 階乘函數：「排序」的計數方法

#### 定義與公式

若 \( n \) 是正整數，階乘函數定義為： \[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1 \] 特別規定 \( 0! = 1 \)（後面解釋合理性）。

#### 組合意義：

「排序n個物體的方法數」階乘的本質是「考慮次序的排列數」。例如，3個人（Alice、Bob、Charlie）排序的方法數： 1. 第一個位置：3種選擇（Alice、Bob、Charlie）。

2. 第二個位置：剩下2人，2種選擇。

3. 第三個位置：剩下1人，1種選擇。總方法數 = 3×2×1 = 3! = 6，與列舉結果（{A,B,C}、{A,C,B}、{B,A,C}、{B,C,A}、{C,A,B}、{C,B,A}）完全一致。

#### 關鍵細節：

為什麼0! = 1？很多人會疑惑「0個物體排序的方法數為何是1」，這需要從「空積」和「實際意義」兩方面理解：

1. 代數角度：階乘遞推關係是 \( n! = n \times (n-1)! \)，若要滿足此遞推，當 \( n=1 \) 時，1! = 1×0! ⇒ 0! = 1。

2. 組合角度：「什麼都不做」的方法只有1種（比如從0人中選0人排序，只有1種方式），這與集合論中「空集的子集只有自身」一致。

#### 階乘的增長速度：

為何如此驚人？階乘是「超指數增長」，比平方、指數函數增長快得多：

10! = 3628800（約363萬）。

20! ≈ 2.43×10¹⁸（超過2萬億億）。

52! ≈ 8.07×10⁶⁷（一副牌的排序方法數，這個數字比宇宙中原子總數還多）。

用具體例子感受：若全世界70億人每秒洗一次52張牌，要洗完所有排序，需要約 \( 8×10⁶⁷ ÷ (7×10⁹ × 3.15×10⁷) ≈ 3.7×10⁵⁰ \) 年——遠超宇宙年齡（約138億年）。

#### 推廣：

從n個物體選k個排序（排列數）若不排序所有n個物體，而是選k個物體並考慮次序，方法數稱為「排列數」，記作 \( P(n,k) \)： \[ P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} \] 推导邏輯： - 第一個位置：n種選擇。

第二個位置：n-1種選擇。

...

第k個位置：n - k + 1種選擇。乘積為 \( n×(n-1)×\cdots×(n-k+1) \)，分子分母同乘 \( (n-k)! \)，即得 \( \frac{n!}{(n-k)!} \)。

例：從70名學生中選30人排序（考慮選取次序），方法數 = \( \frac{70!}{40!} ≈ 1.46×10⁵² \)。

### 3.1.2 二項式係數：「無序選擇」的計數方法階乘用於「考慮次序」，但紙牌問題中常需「不考慮次序」（如一手5張牌的先後拿到順序無關），這時需要二項式係數。

#### 定義與公式從n個物體中不考慮次序選k個，方法數稱為「二項式係數」，記作 \( \binom{n}{k} \)（讀作「n選k」）： \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \times (n-k)!} \] 其中 \( 0 ≤ k ≤ n \)；若 \( k > n \) 或 \( k < 0 \)，則 \( \binom{n}{k} = 0 \)（不可能從n個物體選k個）。

#### 為何除以k!？：

消除「不必要的次序」以「從52張牌選5張」為例：

1. 考慮次序時，方法數是 \( P(52,5) = \frac{52!}{47!} = 52×51×50×49×48 = 311875200 \)。

2. 但5張牌的次序無關（如{5♣,6♦,7♥,7♠,J♣}與{J♣,5♣,7♠,6♦,7♥}是同一手牌），而5張牌的排序有5! = 120種，因此需除以5! 消除次序影響。

3. 不考慮次序的方法數 = \( \frac{52!}{5!×47!} = 2598960 \)，這正是二項式係數 \( \binom{52}{5} \) 的值。

#### 具體例子驗證：

從5人中選3人 5人（A、B、C、D、E）中選3人，不考慮次序：

1. 用二項式係數計算：\( \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!×2!} = 10 \)。

2. 列舉所有可能：{A,B,C}、{A,B,D}、{A,B,E}、{A,C,D}、{A,C,E}、{A,D,E}、{B,C,D}、{B,C,E}、{B,D,E}、{C,D,E}，共10種，與計算結果一致。

#### 核心性質：

二項式係數的對稱性對任意n、k，有 \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \)，這是計數中非常實用的性質，用「故事證明法」最易理解：

故事1：從n人中選k人去參加派對，方法數是 \( \binom{n}{k} \)。

故事2：從n人中選n-k人不去參加派對，方法數是 \( \binom{n}{n-k} \)。 - 兩個故事描述的是同一回事（選k人去 = 選n-k人不去），因此方法數相等。例：\( \binom{52}{5} = \binom{52}{47} \)（選5張牌 = 選47張牌留下），計算時選小的k（如5）更簡單，避免計算大階乘。

### 3.1.3 總結：

排列vs組合的核心區分階乘和二項式係數的關鍵差異在於「是否考慮次序」，這是計數中最易混淆的點，用表格清晰對比： | 場景 | 工具 | 公式 | 核心特徵 | 例子 | |---------------------|---------------------|-----------------------|-------------------------|-------------------------------| | 考慮次序（排列） | 排列數 \( P(n,k) \) | \( \frac{n!}{(n-k)!} \) | 選取順序不同即不同結果 | 從52張牌選5張排序，方法數 \( P(52,5) \) | | 不考慮次序（組合） | 二項式係數 \( \binom{n}{k} \) | \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) | 選取順序不同仍同一結果 | 從52張牌選5張手牌，方法數 \( \binom{52}{5} \) |

記憶口訣：「有序用排列（階乘除(n-k)!），無序用組合（再除k!）」。

## 3.2 撲克牌：

計數與機率的「綜合練習」撲克牌是檢驗計數能力的最佳場景——52張牌，5張手牌，多種牌型，每種牌型的計數都需謹防「重複計數」和「遺漏情形」。

首先明確撲克牌基本規則：

牌組：52張，4種花色（黑桃♠、紅桃♥、方塊♦、梅花♣），每種花色13種點數（2~10、J、Q、K、A）。

手牌：5張，牌型從小到大為：最小牌型（無對子、無順子、無同花）、對子、兩對、三條、順子、同花、葫蘆、鐵支、同花順。

機率計算：某牌型的機率 = 該牌型的數量 / 所有可能手牌的數量（即 \( \binom{52}{5} = 2598960 \)）。

### 3.2.1 規則補充：

牌型的關鍵定義避免後續計算混淆，先明確幾個易模糊的牌型定義：

順子：5張點數連續（如A-2-3-4-5、10-J-Q-K-A），A可作1或14，但不循環（如Q-K-A-2-3不為順子）。

同花：5張花色相同，不考慮點數（如5張黑桃）。

同花順：既是順子又是同花（如10♠-J♠-Q♠-K♠-A♠）。 - 葫蘆：3張點數相同 + 2張點數相同（如3張5 + 2張J）。

鐵支：4張點數相同（如4張7 + 1張任意牌）。 ### 3.2.2 最小牌型：無對子、無順子、無同花最小牌型指「5張牌中無對子、無順子、無同花」，計數步驟需用「容斥原理」：先算「所有點數不同」的情況，再減去「順子」和「同花」，最後加回「同花順」（因順子和同花都減去了同花順，重複減了一次）。

#### 步驟1：

計算「所有點數不同」的手牌數 - 選5種不同點數：從13種點數選5種，方法數 \( \binom{13}{5} \)。 - 每種點數選1種花色：4種花色可選，5種點數共 \( 4^5 \) 種。

總數 = \( \binom{13}{5} × 4^5 = 1287 × 1024 = 1317888 \)。

#### 步驟2：

減去「順子」的數量 - 順子的點數序列：共10種（A-2-3-4-5、2-3-4-5-6、...、10-J-Q-K-A）。 - 每種序列的花色：5張牌各4種花色，共 \( 4^5 = 1024 \) 種。

順子總數 = 10 × 1024 = 10240。

#### 步驟3：

減去「同花」的數量 - 選1種花色：4種選擇，方法數 \( \binom{4}{1} \)。

該花色中選5張牌：從13張選5張，方法數 \( \binom{13}{5} \)。

同花總數 = \( \binom{4}{1} × \binom{13}{5} = 4 × 1287 = 5148 \)。

#### 步驟4：

加回「同花順」的數量 - 同花順是「順子且同花」，之前減順子和同花時各減了一次，需補加一次。 - 同花順的點數序列：10種（與順子相同）。

每種序列的花色：4種選擇（每種花色1套）。

同花順總數 = 10 × 4 = 40。

#### 步驟5：

最小牌型的數量與機率

最小牌型數量 = 點數不同數 - 順子數 - 同花數 + 同花順數 = 1317888 - 10240 - 5148 + 40 = 1302540。

機率 = 1302540 / 2598960 ≈ 0.501（約50.1%），這與實際玩牌體驗一致——一半左右的手牌是最小牌型。

#### 常見誤區：

忘記加回同花順若直接用「點數不同數 - 順子數 - 同花數」，會少算同花順的數量（因同花順既屬順子又屬同花，被重複減去），導致結果偏小，這是容斥原理的典型應用，必須記住「減重複的部分要補回」。

### 3.2.3 對子：

恰有一對相同點數，其餘三張點數不同對子是「有一對，無兩對、三條、鐵支」的牌型，計數核心是「明確『恰有一對』的邊界」，避免與兩對、葫蘆混淆。

#### 步驟1：

選對子的點數從13種點數選1種作為對子，方法數 \( \binom{13}{1} = 13 \)。

#### 步驟2：

選對子的花色該點數有4張牌，選2種花色構成對子，方法數 \( \binom{4}{2} = 6 \)（如從4張K中選2張，有6種組合）。

#### 步驟3：

選其餘三張的點數其餘三張點數需不同，且不同於對子的點數：從剩下12種點數選3種，方法數 \( \binom{12}{3} = 220 \)。

#### 步驟4：

選其餘三張的花色每種點數有4種花色，3張牌共 \( 4^3 = 64 \) 種選擇。

#### 步驟5：

對子的總數與機率

總數 = \( \binom{13}{1} × \binom{4}{2} × \binom{12}{3} × 4^3 = 13 × 6 × 220 × 64 = 1098240 \)。

機率 = 1098240 / 2598960 ≈ 0.4226（約42.26%），這是撲克牌中最常見的牌型之一。

#### 常見錯誤分析：

考慮次序導致重複錯誤方法：「第一張牌52種選擇，第二張牌3種（與第一張同點數），第三張48種（不同點數），第四張44種，第五張40種，總數 = 52×3×48×44×40 = 13178880，機率 = 13178880 / 2598960 ≈ 5.07」——明顯大於1，錯因是「考慮了手牌的次序」：

5張牌的次序有5! = 120種，而對子的兩張牌次序無關（如先選5♣再選5♥，與先選5♥再選5♣是同一對子），因此需除以5! 消除次序，正確總數 = 13178880 / 120 = 1098240，與之前結果一致。

### 3.2.4 兩對：

恰有兩個不同的對子，第五張點數不同兩對是「兩個對子 + 一張單牌」，計數關鍵是「選兩個不同的對子點數時不重複」。

#### 步驟1：

選兩個對子的點數從13種點數選2種（如K和J），方法數 \( \binom{13}{2} = 78 \)（注意：不是 \( \binom{13}{1} × \binom{12}{1} = 156 \)，因「對K+對J」與「對J+對K」是同一手牌，需消除次序）。

#### 步驟2：

選每個對子的花色每個對子選2種花色，兩個對子共 \( \binom{4}{2} × \binom{4}{2} = 6 × 6 = 36 \) 種。

#### 步驟3：

選第五張單牌的點數第五張點數需不同於兩個對子的點數：從剩下11種點數選1種，方法數 \( \binom{11}{1} = 11 \)。

#### 步驟4：

選第五張單牌的花色 4種花色可選，方法數 \( \binom{4}{1} = 4 \)。

#### 步驟5：

兩對的總數與機率 - 總數 = \( \binom{13}{2} × \binom{4}{2} × \binom{4}{2} × \binom{11}{1} × \binom{4}{1} = 78 × 36 × 11 × 4 = 123552 \)。

機率 = 123552 / 2598960 ≈ 0.0475（約4.75%），比對子少得多，符合牌型大小邏輯。

### 3.2.5 三條：

恰有三張相同點數，其餘兩張點數不同且不構成對子三條是「三張同點數 + 兩張不同點數」，需排除「三條+對子=葫蘆」的情況。

#### 步驟1：

選三條的點數從13種點數選1種，方法數 \( \binom{13}{1} = 13 \)。

#### 步驟2：

選三條的花色該點數4張牌中選3種花色，方法數 \( \binom{4}{3} = 4 \)。

#### 步驟3：

選其餘兩張的點數兩張點數需不同，且不同於三條的點數：從剩下12種點數選2種，方法數 \( \binom{12}{2} = 66 \)。

#### 步驟4：

選其餘兩張的花色每張牌4種花色，共 \( 4 × 4 = 16 \) 種選擇。

#### 步驟5：

三條的總數與機率

總數 = \( \binom{13}{1} × \binom{4}{3} × \binom{12}{2} × 4^2 = 13 × 4 × 66 × 16 = 54912 \)。 - 機率 = 54912 / 2598960 ≈ 0.0211（約2.11%），比兩對稀有。

### 3.2.6 順子、同花和同花順：

連續點數與同花色的組合這三種牌型有重疊（同花順既是順子又是同花），需用容斥原理區分，之前計算最小牌型時已涉及部分步驟，這裡詳細展開：

#### 1. 順子（含同花順）

點數序列：10種（A-2-3-4-5到10-J-Q-K-A）。 - 每種序列的花色：5張牌各4種花色，共 \( 4^5 = 1024 \) 種。

總數 = 10 × 1024 = 10240。

機率 = 10240 / 2598960 ≈ 0.00394（約0.394%）。

#### 2. 同花（含同花順）

花色：4種選擇，方法數 \( \binom{4}{1} = 4 \)。

該花色選5張牌：從13張選5張，方法數 \( \binom{13}{5} = 1287 \)。

總數 = 4 × 1287 = 5148。

機率 = 5148 / 2598960 ≈ 0.00196（約0.196%），比順子稀有，符合牌型大小（同花 > 順子）。

#### 3. 同花順

點數序列：10種。

花色：4種選擇。

總數 = 10 × 4 = 40。

機率 = 40 / 2598960 ≈ 0.0000154（約0.00154%），極其稀有，是除皇家同花順（同花順的特殊情況，10-J-Q-K-A）外最大的牌型。

#### 關鍵區分：

純順子與純同花

純順子（非同花順）：10240 - 40 = 10200，機率 ≈ 0.392%。

純同花（非同花順）：5148 - 40 = 5108，機率 ≈ 0.196%。這解釋了為何同花比順子大——純同花的數量更少，機率更低。

### 3.2.7 葫蘆和鐵支：

高級牌型的計數這兩種是極稀有的高級牌型，計數邏輯相對直接，但需注意「點數的區分」。

#### 1. 葫蘆：

三張同點數 + 兩張同點數（不同於三張的點數）

選三張的點數：\( \binom{13}{1} = 13 \)。

選三張的花色：\( \binom{4}{3} = 4 \)。

選兩張的點數：從剩下12種點數選1種，\( \binom{12}{1} = 12 \)。

選兩張的花色：\( \binom{4}{2} = 6 \)。

總數 = 13 × 4 × 12 × 6 = 3744。

機率 = 3744 / 2598960 ≈ 0.00144（約0.144%），比同花稀有。

#### 2. 鐵支：

四張同點數 + 一張任意點數 - 選四張的點數：\( \binom{13}{1} = 13 \)。

選四張的花色：只有1種（4張全選），\( \binom{4}{4} = 1 \)。

選第五張的點數：從剩下12種點數選1種，\( \binom{12}{1} = 12 \)。

選第五張的花色：\( \binom{4}{1} = 4 \)。 - 總數 = 13 × 1 × 12 × 4 = 624。 - 機率 = 624 / 2598960 ≈ 0.00024（約0.024%），極其稀有，僅次於同花順。

### 3.2.8 撲克牌型練習I：

至少有兩張點數相同的機率

練習目的：綜合運用之前的牌型計數，驗證「互補機率」的實用性。

#### 問題：

5張手牌中至少有兩張點數相同的機率是多少？

#### 解法1：

直接計算（列舉所有有重複點數的牌型）有重複點數的牌型包括：對子、兩對、三條、葫蘆、鐵支，其數量分別為：

對子：1098240

兩對：123552

三條：54912

葫蘆：3744

鐵支：624

總數 = 1098240 + 123552 + 54912 + 3744 + 624 = 1281072

機率 = 1281072 / 2598960 ≈ 0.4929（約49.29%）。

#### 解法2：

互補機率（計算「所有點數不同」的機率，再用1減去） - 所有點數不同的數量：1317888（3.2.2節步驟1）。

機率 = 1 - 1317888 / 2598960 ≈ 1 - 0.5071 = 0.4929（約49.29%）。

兩種方法結果一致，驗證了正確性，且解法2更簡單——避免列舉多種牌型，這再次體現「互補機率」的威力。

### 3.2.9 撲克牌型練習II：

已知部分手牌的概率計算

練習目的：處理「條件計數」，即已知部分手牌時，計算剩餘手牌構成目標牌型的概率。

#### 問題：

已知手牌前兩張是A♠和8♦，補3張牌後，恰有一個對子（既不是兩個A也不是兩個8）的概率是多少？

#### 分析：

剩餘牌組：52 - 2 = 50張，排除A（剩3張）和8（剩3張），剩50 - 6 = 44張非A非8的牌。

目標：補3張後，恰有一個對子，且對子不是A或8（即對子是2~7、9~K中的某種點數）。

#### 步驟1：

計算「補3張牌」的總方法數從50張中選3張，方法數 \( \binom{50}{3} = \frac{50×49×48}{3!} = 19600 \)。

#### 步驟2：

計算「恰有一個對子（非A非8）」的方法數 - 選對子的點數：從11種非A非8的點數（2~7、9~K）選1種，\( \binom{11}{1} = 11 \)。

選對子的花色：該點數4張牌選2張，\( \binom{4}{2} = 6 \)。

選第三張牌：點數不同於A、8和對子的點數，共52 - 12 = 40張（12張是A、8和對子的點數），方法數 \( \binom{40}{1} = 40 \)。

總數 = 11 × 6 × 40 = 2640。

#### 步驟3：

計算概率概率 = 2640 / 19600 = 33 / 245 ≈ 0.1347（約13.47%）。

#### 驗證：

用有序計數確認 - 有序補牌：50×49×48 = 117600種。

有序目標數：對子的位置有3種（第3&4張、第3&5張、第4&5張），每種位置的方法數 = 44×3×40 = 5280，總有序目標數 = 3×5280 = 15840。

概率 = 15840 / 117600 = 33 / 245 ≈ 0.1347，與無序計數一致，驗證正確。

## 3.3 單人紙牌：

計數與機率的「動態場景」單人紙牌（如克朗代克、Aces Up、空當接龍）的核心是「初始布局的計數」和「贏牌概率的估算」，由於遊戲規則複雜（涉及牌的翻開、移動規則），很難用精確計數求贏牌概率，通常用模擬法估算。

### 3.3.1 克朗代克紙牌（Klondike）

#### 初始布局計數 - 牌組：52張，分成7組，第1組1張，第2組2張，...，第7組7張，每組頂牌翻開（共28張），剩24張作為備用牌。 - 初始布局的不同情況：理論上有52! 種（所有牌的排列），但考慮「花色無區別」「對稱布局」等等价類，實際不同布局數更少。

#### 贏牌概率估算

電腦模擬結果：超過80%的布局有贏的可能，但實際玩家贏率約30%~40%（因玩家策略影響）。

不可玩布局：約0.25%的布局無任何有效移動（如所有翻開的牌都是K，且無空組可放），這類布局必輸。

### 3.3.2 Aces Up紙牌

#### 規則簡介

初始布局：4張牌面朝上，剩餘48張牌依次翻開，每次翻開的牌可與4張中的某張比較，若花色相同且點數更小，則移除小牌；最終剩下4張A即獲勝。

#### 贏牌概率

因規則簡單，模擬贏率約70%~80%，是單人紙牌中相對容易贏的遊戲。

### 3.3.3 《空當接龍》（FreeCell）

#### 特點：

幾乎所有布局可贏

初始布局：52張牌分成8組，前4組7張，後4組6張，有4個空檔可暫存牌，4個基牌位置可放A並向上堆疊同花色牌。

贏率：官方Windows版本的32000種布局中，僅1種（#11982）被證明不可贏，贏率幾乎100%，這也是其受歡迎的原因。

## 3.4 橋牌：

團隊紙牌的「計數核心」橋牌是4人團隊遊戲（東、南、西、北），核心計數問題包括「牌局個數」和「將牌分配概率」，這兩個問題都需用階乘和二項式係數解決。

### 3.4.1 井字遊戲（插曲：簡單策略遊戲的計數）

原書用井字遊戲（Tic-Tac-Toe）引入策略遊戲的計數，雖與橋牌無直接關聯，但能體現「計數與策略的結合」：

總布局數：9! = 362880，但考慮對稱（旋轉、翻轉），不同布局僅138種。

贏策略：完美對弈下，先手最多平局，後手無法贏，這說明計數可幫助分析策略極限。

### 3.4.2 橋牌牌局的個數

橋牌中，52張牌平均分給4個玩家（每人13張），計算不同牌局的數量：

分牌步驟：

1. 給東家13張：\( \binom{52}{13} \)。

2. 給南家13張：從剩39張選13，\( \binom{39}{13} \)。

3. 給西家13張：從剩26張選13，\( \binom{26}{13} \)。

4. 北家：剩13張，\( \binom{13}{13} = 1 \)。

總牌局數 = \( \binom{52}{13} × \binom{39}{13} × \binom{26}{13} = \frac{52!}{13!×39!} × \frac{39!}{13!×26!} × \frac{26!}{13!×13!} = \frac{52!}{(13!)^4} ≈ 5.36×10^{28} \)，數量極其龐大。

若不區分玩家（如東家和西家互換視為同一牌局），則除以4!，牌局數 ≈ 5.36×10^{28} / 24 ≈ 2.23×10^{27}。

### 3.4.3 將牌的分配

橋牌中，某一花色被指定為「將牌」，計算某玩家拿到k張將牌的概率： - 將牌總數：13張（某一花色）。

某玩家拿到k張將牌的方法數：\( \binom{13}{k} × \binom{39}{13 - k} \)（k張將牌從13張選，13 - k張非將牌從39張選）。

總分牌方法數：\( \binom{52}{13} \)。 - 概率 = \( \frac{\binom{13}{k} × \binom{39}{13 - k}}{\binom{52}{13}} \)。

#### 例子：南家拿到6張將牌的概率

計算：\( \frac{\binom{13}{6} × \binom{39}{7}}{\binom{52}{13}} = \frac{1716 × 15380937}{635013559600} ≈ 0.0415 \)（約4.15%）。

意義：將牌分配影響遊戲策略，概率計算可幫助玩家判斷對手的將牌數量。

## 3.5 附錄：

計算機率的代碼——用程式驗證計數結果原書提供了Mathematica代碼，用於模擬紙牌機率，這裡解釋核心代碼的邏輯，幫助讀者理解「如何用程式驗證理論計數」。

### 3.5.1 將牌分配的代碼

#### 代碼核心功能

模擬橋牌分牌，統計某玩家拿到不同數量將牌的次數，計算概率並與理論值對比。

#### 關鍵程式段解釋

```mathematica bridgetrump[num_] := Module[{}, (* num: 模擬次數 *) trumpcount = Table[0, {14}]; (* 記錄拿到0~13張將牌的次數 *) For[n = 1, n <= num, n++, (* 生成將牌：1~13為將牌，14~52為非將牌 *) deck = RandomSample[1~52]; (* 南家的牌：前13張 *) south = Take[deck, 13]; (* 統計南家的將牌數量 *) trumps = Count[south, x_ /; x <= 13]; trumpcount[[trumps + 1]] = trumpcount[[trumps + 1]] + 1; ]; (* 計算概率並輸出 *) prob = Table[trumpcount[[k]] / num, {k, 1, 14}]; Print["理論概率（k=0~13）：", Table[Binomial[13, k] * Binomial[39, 13 - k] / Binomial[52, 13], {k, 0, 13}]]; Print["模擬概率（k=0~13）：", prob]; (* 繪圖對比 *) ListPlot[{Table[Binomial[13, k] * Binomial[39, 13 - k] / Binomial[52, 13], {k, 0, 13}], prob}, AxesLabel -> {"將牌數k", "概率"}]; ] ``` #### 程式邏輯 1. 生成隨機牌組：`RandomSample[1~52]` 模擬洗牌，1~13代表將牌。 2. 提取南家牌：`Take[deck, 13]` 取前13張作為南家手牌。 3. 統計將牌數：`Count[south, x_ /; x <= 13]` 計算南家的將牌數。 4. 對比理論與模擬：輸出並繪圖對比，驗證理論概率的正確性。 ### 3.5.2 撲克牌型的代碼 #### 代碼核心功能模擬隨機發5張手牌，判斷牌型（對子、兩對、...、同花順），統計各牌型的次數和概率。 #### 關鍵程式段：牌型判斷 ```mathematica pokerhand[num_] := Module[{}, (* 初始化計數器：0=最小牌型，1=對子，2=兩對，3=三條，4=順子，5=同花，6=葫蘆，7=鐵支，8=同花順 *) handcount = Table[0, {9}]; deck = Flatten[Table[{i, j}, {i, 1, 4}, {j, 1, 13}]]; (* 4種花色（1~4），13種點數（1~13） *) For[n = 1, n <= num, n++, (* 發5張牌 *) hand = RandomSample[deck, 5]; (* 提取點數和花色 *) ranks = Map[Last, hand]; (* 點數：1~13 *) suits = Map[First, hand]; (* 花色：1~4 *) (* 統計點數出現次數：count[[r]]=點數r出現的次數 *) count = Table[Count[ranks, r], {r, 1, 13}]; (* 判斷同花：所有花色相同 *) flush = If[Length[Union[suits]] == 1, True, False]; (* 判斷順子：點數排序後連續，或A-2-3-4-5（點數1,2,3,4,5） *) sortedranks = Sort[ranks]; straight = If[sortedranks == {1, 2, 3, 4, 5}, True, If[Max[sortedranks] - Min[sortedranks] == 4 && Length[Union[ranks]] == 5, True, False]]; (* 判斷牌型 *) If[straight && flush, handcount[[9]] += 1; Continue[]]; (* 同花順 *) If[Max[count] == 4, handcount[[8]] += 1; Continue[]]; (* 鐵支 *) If[Max[count] == 3 && Min[count] == 2, handcount[[7]] += 1; Continue[]]; (* 葫蘆 *) If[flush, handcount[[6]] += 1; Continue[]]; (* 同花 *) If[straight, handcount[[5]] += 1; Continue[]]; (* 順子 *) If[Max[count] == 3, handcount[[4]] += 1; Continue[]]; (* 三條 *) If[Length[Select[count, # == 2 &]] == 2, handcount[[3]] += 1; Continue[]]; (* 兩對 *) If[Max[count] == 2, handcount[[2]] += 1; Continue[]]; (* 對子 *) handcount[[1]] += 1; (* 最小牌型 *) ]; (* 輸出概率 *) prob = handcount / num; Print["各牌型概率：", prob]; ] ```