四元数（Quaternion）、叉积（Cross Product）与点积（Dot Product）之间的关系
四元数（Quaternion）、叉积（Cross Product）与点积（Dot Product）之间的关系
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四元数
四元数（Quaternions）是一种数学结构，由爱尔兰数学家威廉 罗文 哈密顿（William Rowan Hamilton）于1843年发明。它是复数（complex numbers）的扩展，从二维扩展到四维空间。。
一个四元数 qqq 可以表示为：
q=s+xi+yj+zk
q = s + x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}
q=s+xi+yj+zk
其中：
s,x,y,zs, x, y, zs,x,y,z 是实数（称为标量部分和向量部分）。
i,j,k\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}i,j,k 是三个虚单位，满足以下乘法规则（哈密顿的基本关系）：
i2=j2=k2=ijk=−1\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k} = -1i2=j2=k2=ijk=−1
以及非交换的交叉乘法：
ij=k,ji=−k\mathbf{i}\mathbf{j} = \mathbf{k}, \quad \mathbf{j}\mathbf{i} = -\mathbf{k}ij=k,ji=−k
jk=i,kj=−i\mathbf{j}\mathbf{k} = \mathbf{i}, \quad \mathbf{k}\mathbf{j} = -\mathbf{i}jk=i,kj=−i
ki=j,ik=−j\mathbf{k}\mathbf{i} = \mathbf{j}, \quad \mathbf{i}\mathbf{k} = -\mathbf{j}ki=j,ik=−j
加法：类似于向量加法，按分量相加。
乘法：使用分配律扩展上述规则，结果仍是一个四元数（封闭性）。乘法是非交换的（即 q1q2≠q2q1q_1 q_2 \neq q_2 q_1q1q2=q2q1 一般情况下）。
模长：∣q∣=s2+x2+y2+z2|q| = \sqrt{s^2 + x^2 + y^2 + z^2}∣q∣=s2+x2+y2+z2。
共轭：qˉ=s−xi−yj−zk\bar{q} = s - x\mathbf{i} - y\mathbf{j} - z\mathbf{k}qˉ=s−xi−yj−zk。
逆元：对于非零四元数，逆是 q−1=qˉ∣q∣2q^{-1} = \frac{\bar{q}}{|q|^2}q−1=∣q∣2qˉ，这使得四元数支持“除法”。
单位四元数：模长为1的四元数，用于表示三维空间的旋转（比旋转矩阵更高效，避免万向节锁问题）。
吉布斯（Gibbs）和亥维赛（Heaviside）从四元数中“拆分”出点积与叉积，形成独立的向量分析体系。
向量四元数的乘积分解
考虑两个纯向量四元数（标量部分为0）：
u=u1i+u2j+u3k(对应向量 u=(u1,u2,u3)) \mathbf{u} = u_1i + u_2j + u_3k \quad (\text{对应向量 } \mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)) u=u1i+u2j+u3k(对应向量 u=(u1,u2,u3))
v=v1i+v2j+v3k(对应向量 v=(v1,v2,v3)) \mathbf{v} = v_1i + v_2j + v_3k \quad (\text{对应向量 } \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)) v=v1i+v2j+v3k(对应向量 v=(v1,v2,v3))
根据四元数乘法规则展开 uv\mathbf{u} \mathbf{v}uv，代入 i2=j2=k2=−1i^2 = j^2 = k^2 = -1i2=j2=k2=−1 和 ij=k,ji=−kij = k, ji = -kij=k,ji=−k 等关系，最终化简为：
uv=−(u1v1+u2v2+u3v3)⏟点积的负数+(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k⏟叉积的向量形式 \mathbf{u} \mathbf{v} = -\underbrace{(u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3)}_{\text{点积的负数}} + \underbrace{(u_2v_3 - u_3v_2)i + (u_3v_1 - u_1v_3)j + (u_1v_2 - u_2v_1)k}_{\text{叉积的向量形式}} uv=−点积的负数(u1v1+u2v2+u3v3)+叉积的向量形式(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k
四元数的乘积是“点积（标量部分）”与“叉积（向量部分）”的统一载体——标量部分是点积的相反数，向量部分则是叉积本身。
从四元数乘法到点积、叉积
以向量 u=(2,1,4)\mathbf{u} = (2, 1, 4)u=(2,1,4) 和 v=(3,6,5)\mathbf{v} = (3, 6, 5)v=(3,6,5) 为例，将其表示为向量四元数：
u=2i+j+4k,v=3i+6j+5k \mathbf{u} = 2i + j + 4k, \quad \mathbf{v} = 3i + 6j + 5k u=2i+j+4k,v=3i+6j+5k
计算四元数乘积：
uv=(2i+j+4k)(3i+6j+5k)=−32−19i+2j+9k
\begin{align*}
\mathbf{u} \mathbf{v} &= (2i + j + 4k)(3i + 6j + 5k) \\
&= -32 - 19i + 2j + 9k
\end{align*}
uv=(2i+j+4k)(3i+6j+5k)=−32−19i+2j+9k
标量部分：−32=−(2⋅3+1⋅6+4⋅5)=−u⋅v-32 = -(2 \cdot 3 + 1 \cdot 6 + 4 \cdot 5) = -\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}−32=−(2⋅3+1⋅6+4⋅5)=−u⋅v（点积的负数）；
向量部分：−19i+2j+9k-19i + 2j + 9k−19i+2j+9k（对应叉积 u×v=(−19,2,9)\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (-19, 2, 9)u×v=(−19,2,9)）。
“四元数乘积 = （-点积） + 叉积”的代数关联。
四元数能拆分出点积和叉积，源于二者分别刻画了三维空间中向量的“共线”与“垂直”关系。
点积：标量，刻投影度，量度共线程度，跳投影舞。
点积 u⋅v=∣u∣∣v∣cosθ\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\thetau⋅v=∣u∣∣v∣cosθ（θ\thetaθ 为两向量夹角）是标量，核心意义是**“投影”**——描述一个向量在另一个向量方向上的“重叠程度”。
判断夹角（cosθ>0\cos\theta > 0cosθ>0 为锐角，cosθ<0\cos\theta < 0cosθ<0 为钝角）、计算投影长度（projvu=u⋅v∣v∣2v\text{proj}_\mathbf{v}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2}\mathbf{v}projvu=∣v∣2u⋅vv）。
叉积：向量，垂原平面，模为面积，宣垂直性
叉积 u×v\mathbf{u} \times \mathbf{v}u×v 是向量，模长 ∣u×v∣=∣u∣∣v∣sinθ|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin\theta∣u×v∣=∣u∣∣v∣sinθ 对应两向量张成的平行四边形面积，方向由右手定则确定（垂直于两向量所在平面）。
判断平行（若 u×v=0\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}u×v=0，则两向量共线）、计算平面法向量（叉积方向即为平面法向）。
四元数的乘法运算极具整合性，它能在一次运算中同时涵盖点积所刻画的向量投影关系，以及叉积所描述的垂直方向与平行四边形面积属性，相当于把这两种不同维度的几何信息 “打包” 在了同一次乘法操作里。