算法与数据结构之二叉树（Binary Tree）

---

一、什么是二叉树（Binary Tree）

定义：

二叉树是一种树形结构，其中每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点（left child）和右子节点（right child）。

每个节点最多有 2 个分支，这两个分支可以为空。

---

例子

        A/ \B   C/ \   \D   E   F

• A 是根节点（Root）
• B、C 是 A 的孩子（Child）
• D、E、F 是叶子节点（Leaf）
• B 的父节点是 A
• D 的兄弟节点是 E

---

二、二叉树的基本术语

名称	含义
根节点（Root）	没有父节点的节点
叶子节点（Leaf）	没有子节点的节点
父节点（Parent）	有子节点的节点
子节点（Child）	父节点的下属节点
兄弟节点（Sibling）	具有相同父节点的节点
节点深度（Depth）	从根到该节点的边数
节点高度（Height）	从该节点到叶子的最长路径
层级（Level）	节点的深度 + 1
满二叉树（Full Binary Tree）	所有非叶子节点都有两个子节点
完全二叉树（Complete Binary Tree）	除最后一层外，其他层节点全满，最后一层从左到右依次填充

---

三、二叉树的分类

类型	定义
普通二叉树	任意结构
满二叉树	所有非叶节点都有两个孩子，叶子都在同一层
完全二叉树	除最后一层外全满，最后一层从左向右填充
二叉搜索树（BST）	左子树 < 根 < 右子树
平衡二叉树（AVL Tree）	左右子树高度差 ≤ 1
红黑树（Red-Black Tree）	一种自平衡二叉搜索树
线索二叉树（Threaded Binary Tree）	用空指针指向前驱/后继节点以加速遍历

---

四、二叉树的性质

设二叉树中第 $i$ 层最多有 $2^{i-1}$ 个节点：

1. 第 $i$ 层最多节点数：
   $$N_i=2^{i-1}$$

2. 深度为 $k$ 的二叉树最多节点数：
   $$N_{\max }=2^k-1$$

3. 具有 $n$ 个节点的二叉树，高度至少为：
   $$h_{\min }=\lceil {\log }_2(n+1)\rceil$$

4. 若叶子节点数为 $n_0$，度为 2 的节点数为 $n_2$，则：
   $$n_0=n_2+1$$

---

五、二叉树的存储方式

1.顺序存储（数组存储）

适用于 完全二叉树

设根节点下标为 1，则：

• 左孩子：2*i
• 右孩子：2*i + 1
• 父节点：i / 2

例如：

        A(1)/   \B(2)     C(3)/ \     /
D(4) E(5) F(6)

数组存储：

[ _, A, B, C, D, E, F ]

---

2.链式存储（指针结构）

struct TreeNode {int val;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

每个节点保存两个指针，分别指向左、右子节点。

---

六、二叉树的遍历（Traversal）

遍历是访问二叉树所有节点的过程。

1.深度优先遍历（DFS）

• 前序遍历（Preorder）：根 → 左 → 右
  顺序：Root, Left, Right

• 中序遍历（Inorder）：左 → 根 → 右
  顺序：Left, Root, Right

• 后序遍历（Postorder）：左 → 右 → 根
  顺序：Left, Right, Root

---

示例

        A/ \B   C/ \   \D   E   F

遍历类型	结果顺序
前序	A B D E C F
中序	D B E A C F
后序	D E B F C A

---

递归实现（以中序为例）

void inorder(TreeNode* root) {if (!root) return;inorder(root->left);cout << root->val << " ";inorder(root->right);
}

---

2.广度优先遍历（BFS）

即 层序遍历（Level Order Traversal）
利用队列（Queue）实现。

void levelOrder(TreeNode* root) {if (!root) return;queue<TreeNode*> q;q.push(root);while (!q.empty()) {TreeNode* node = q.front(); q.pop();cout << node->val << " ";if (node->left) q.push(node->left);if (node->right) q.push(node->right);}
}

结果：

A B C D E F

---

七、二叉树的应用

应用场景	示例
表达式解析树	编译器、计算器（(a+b)*c）
二叉搜索树 BST	查找、排序
堆（Heap）	优先队列（最小堆、最大堆）
哈夫曼树（Huffman Tree）	数据压缩
决策树（Decision Tree）	机器学习
KD 树 / Octree	空间索引与点云处理

---

八、构建与销毁

TreeNode* buildTree() {TreeNode* root = new TreeNode(1);root->left = new TreeNode(2);root->right = new TreeNode(3);root->left->left = new TreeNode(4);root->left->right = new TreeNode(5);return root;
}void destroy(TreeNode* root) {if (!root) return;destroy(root->left);destroy(root->right);delete root;
}

---

九、复杂度与性能

操作	平均复杂度	最坏情况
插入	$O(\log n)$	$O(n)$（链化）
删除	$O(\log n)$	$O(n)$
查找	$O(\log n)$	$O(n)$
遍历	$O(n)$	$O(n)$

为避免退化，可使用 AVL Tree 或 Red-Black Tree。

---

十、总结表

分类	特点	示例
普通二叉树	任意结构	一般树结构
满二叉树	每个非叶子都有两个孩子	理论分析
完全二叉树	从左至右填满	堆
二叉搜索树	左 < 根 < 右	查找树
平衡树	高度差≤1	AVL、红黑树
线索树	空指针指向前驱/后继	遍历优化

---

十一、 综合示例-二叉搜索树（BST）

下面实现l一个完整的 Binary Search Tree 类，包括：

• 节点定义
• 插入节点
• 查找节点
• 删除节点
• 三种深度优先遍历（前序 / 中序 / 后序）
• 层序遍历
• 销毁树

---

1.数据结构定义

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;// 二叉树节点定义
struct TreeNode {int val;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

---

2.二叉搜索树类定义

class BinarySearchTree {
private:TreeNode* root;// 插入节点（递归）TreeNode* insert(TreeNode* node, int val) {if (!node) return new TreeNode(val);if (val < node->val) node->left = insert(node->left, val);else if (val > node->val) node->right = insert(node->right, val);return node;}// 查找节点（递归）bool search(TreeNode* node, int val) {if (!node) return false;if (val == node->val) return true;else if (val < node->val) return search(node->left, val);else return search(node->right, val);}// 找到最小值节点TreeNode* findMin(TreeNode* node) {while (node->left) node = node->left;return node;}// 删除节点TreeNode* remove(TreeNode* node, int val) {if (!node) return nullptr;if (val < node->val) node->left = remove(node->left, val);else if (val > node->val) node->right = remove(node->right, val);else {// 情况 1：无子节点if (!node->left && !node->right) {delete node;return nullptr;}// 情况 2：只有一个子节点else if (!node->left) {TreeNode* temp = node->right;delete node;return temp;} else if (!node->right) {TreeNode* temp = node->left;delete node;return temp;}// 情况 3：有两个子节点else {TreeNode* minNode = findMin(node->right);node->val = minNode->val;node->right = remove(node->right, minNode->val);}}return node;}// 遍历函数void preorder(TreeNode* node) {if (!node) return;cout << node->val << " ";preorder(node->left);preorder(node->right);}void inorder(TreeNode* node) {if (!node) return;inorder(node->left);cout << node->val << " ";inorder(node->right);}void postorder(TreeNode* node) {if (!node) return;postorder(node->left);postorder(node->right);cout << node->val << " ";}// 销毁整棵树void destroy(TreeNode* node) {if (!node) return;destroy(node->left);destroy(node->right);delete node;}public:BinarySearchTree() : root(nullptr) {}~BinarySearchTree() { destroy(root); }void insert(int val) { root = insert(root, val); }void remove(int val) { root = remove(root, val); }bool search(int val) { return search(root, val); }// 层序遍历void levelOrder() {if (!root) return;queue<TreeNode*> q;q.push(root);while (!q.empty()) {TreeNode* node = q.front(); q.pop();cout << node->val << " ";if (node->left) q.push(node->left);if (node->right) q.push(node->right);}}// 打印不同遍历结果void printOrders() {cout << "Preorder: "; preorder(root); cout << "\n";cout << "Inorder: "; inorder(root); cout << "\n";cout << "Postorder: "; postorder(root); cout << "\n";cout << "Level order: "; levelOrder(); cout << "\n";}
};

---

3.主程序示例

int main() {BinarySearchTree bst;// 插入节点bst.insert(50);bst.insert(30);bst.insert(70);bst.insert(20);bst.insert(40);bst.insert(60);bst.insert(80);cout << "Binary Search Tree traversals:\n";bst.printOrders();cout << "\nSearch for 60: " << (bst.search(60) ? "Found" : "Not Found") << "\n";cout << "\nRemove 70\n";bst.remove(70);cout << "After deletion:\n";bst.printOrders();return 0;
}

---

输出结果

Binary Search Tree traversals:
Preorder: 50 30 20 40 70 60 80
Inorder: 20 30 40 50 60 70 80
Postorder: 20 40 30 60 80 70 50
Level order: 50 30 70 20 40 60 80Search for 60: FoundRemove 70
After deletion:
Preorder: 50 30 20 40 80 60
Inorder: 20 30 40 50 60 80
Postorder: 20 40 30 60 80 50
Level order: 50 30 80 20 40 60

---

示例分析

操作	说明
插入	构建一棵 BST，左小右大
查找	二分性质快速定位
删除	三种情况（无子、单子、双子）
遍历	四种遍历全面展示树结构
销毁	递归释放所有节点，避免内存泄漏

---