已知两个端点的位置、切矢量和曲率，构造一条五阶Bézier 曲线实现 G² 连续的方法

给定起点 P₀ 和终点 P₅，以及：

• 起点处的单位切向量 T₀ 和曲率 κ₀
• 终点处的单位切向量 T₅ 和曲率 κ₅

要求：构造一条 5 次 Bézier 曲线 C(u)（u ∈ [0,1]），使其在两端分别满足 G² 几何连续条件（即位置、切线方向、曲率匹配）。

5 次 Bézier 曲线定义

C(u) = Σᵢ₌₀⁵ Bᵢ,₅(u) Pᵢ
其中 Bᵢ,₅(u) 是 5 次 Bernstein 基函数，P₀ … P₅ 为控制点。

我们已知 P₀ 和 P₅，需确定中间控制点 P₁, P₂, P₃, P₄。

 步骤 1：利用 G² 条件建立约束

对任意 Bézier 曲线，其导数为：

C′(u) = 5 (P₁ − P₀) at u=0
C′(u) = 5 (P₅ − P₄) at u=1

C″(u) = 20 (P₂ − 2P₁ + P₀) at u=0
C″(u) = 20 (P₄ − 2P₅ + P₃) at u=1

设曲线在 u=0 处的速度大小为 v₀ = ‖C′(0)‖，在 u=1 处为 v₅ = ‖C′(1)‖。

由 G² 连续定义，需满足：

(1) 切线方向匹配（G¹）：

C′(0) = v₀ T₀
C′(1) = v₅ T₅

即：

P₁ = P₀ + (v₀ / 5) T₀
P₄ = P₅ − (v₅ / 5) T₅

(2) 曲率匹配（G²）：

平面或空间曲线的曲率公式为：
κ = ‖C′ × C″‖ / ‖C′‖³ （3D 叉积模）
或在 2D 中：κ = |C′ₓ C″ᵧ − C′ᵧ C″ₓ| / ‖C′‖³

但为避免叉积，可使用向量分解形式。将二阶导数分解为法向和切向分量：

C″ = κ ‖C′‖² N + (d‖C′‖/du) T

其中 N 是单位主法向量（垂直于 T）。

为简化，假设我们已知 曲率 κ 和对应的主法向量 N（若仅给 κ，需额外指定弯曲方向；通常在 2D 中 N 由 T 逆时针旋转 90° 得到）。

于是，在 u=0 处有：

C″(0) = κ₀ v₀² N₀ + a₀ T₀ （a₀ 为未知切向加速度）

同理在 u=1 处：

C″(1) = κ₅ v₅² N₅ + a₅ T₅

由于 Bézier 的 C″(0) = 20(P₂ − 2P₁ + P₀)，代入 P₁ 表达式后可解出 P₂：

P₂ = P₀ + (2v₀ / 5) T₀ + (κ₀ v₀² / 20) N₀ + (a₀ / 20) T₀

合并切向项：

P₂ = P₀ + [(2v₀ + a₀/5) / 5] T₀ + (κ₀ v₀² / 20) N₀

类似地：

P₃ = P₅ − [(2v₅ + a₅/5) / 5] T₅ + (κ₅ v₅² / 20) N₅

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步骤 2：自由度处理（确定 v₀, v₅, a₀, a₅）

5 次 Bézier 有 6 个控制点（12 个自由度，2D）。
已知：

• P₀, P₅（4 个约束）
• T₀, T₅（2 个方向，但已用于 P₁, P₄）
• κ₀, κ₅（2 个标量）

共需满足 8 个约束，剩余 4 个自由度。

常用策略：设切向加速度为零（a₀ = a₅ = 0），并选择 v₀ 和 v₅ 使曲线“自然”。

一种经典选择是令：

v₀ = v₅ = L
其中 L 为弦长：L = ‖P₅ − P₀‖

或使用更优启发式（如基于夹角调整）：

v₀ = v₅ = (4/3) L sin(θ/2) / θ （θ 为 T₀ 与 T₅ 夹角，适用于圆弧拟合）

但最简单实用的方法是：

设定 a₀ = 0, a₅ = 0，并取 v₀ 和 v₅ 为待定参数，通过最小化某种能量（如弯曲能量）确定，或直接设 v₀ = v₅ = ‖P₅ − P₀‖

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最终构造公式

假设：

• 已知单位切向量 T₀, T₅
• 已知曲率 κ₀, κ₅
• 在 2D 中，主法向量由切向量逆时针旋转 90° 得到：
  N₀ = (−T₀.y, T₀.x)，N₅ = (−T₅.y, T₅.x)
• 设 a₀ = a₅ = 0
• 设 v₀ 和 v₅ 为正实数（可取 v₀ = v₅ = ‖P₅ − P₀‖ 或通过优化确定）

则控制点为：

P₀ = 给定
P₁ = P₀ + (v₀ / 5) T₀
P₂ = P₀ + (2v₀ / 5) T₀ + (κ₀ v₀² / 20) N₀
P₃ = P₅ − (2v₅ / 5) T₅ + (κ₅ v₅² / 20) N₅
P₄ = P₅ − (v₅ / 5) T₅
P₅ = 给定

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总结

• 该 5 次 Bézier 曲线在两端精确满足 G² 连续条件（位置、切线方向、曲率）。
• 自由参数 v₀, v₅ 可调节曲线“张力”；若追求形状自然，可令 v₀ = v₅ = 弦长，或通过数值优化（如最小化 ∫κ² ds）确定。
• 若输入为 3D，需额外提供主法向量 N₀, N₅（不能仅靠 κ 推出）。