数据结构与算法：树(Tree)精讲

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前言：

好的开始啦，这是一篇关于数据结构“树”的详细讲解，并辅以C++实现的博文。

文章结构清晰，从概念到实现，逐步深入，希望能帮助你更好地理解树这种重要的数据结构。

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数据结构详解--树(C++实现)

树(Tree) 是一种非常重要的非线性数据结构，它在现实世界和计算机科学中有着广泛的应用。

例如：文件系统、数据库索引、DOM树、组织结构图等。与线性结构(如数组、链表)不同，树能够高效地表示具有层次关系的数据~

本文将深入浅出地讲解树的核心概念、遍历方式，并使用C++实现一个基础的二叉树，及其常见操作。

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一. 树的基本概念

首先，我们来了解一些关于树的核心术语：

· 节点(Node): 树的基本构成单位，包含数据项及指向其他节点的分支。

· 根节点(Root): 位于树顶端的节点，是唯--个没有父节点的节点。

· 父节点(Parent):一个节点如果有子节点，则该节点是其子节点的父节点。

· 子节点(Child):一个节点的直接后继节点。

· 兄弟节点(Sibling):具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。

· 叶节点(Leaf)：没有子节点的节点，也称为终端节点。子树(Subtree):一个节点及其所有后代节点构成的集台。

·节点的度(Degree) ：一个节点拥有的子节点数。

·树的度：树中所有节点的度的最大值。

·深度(Depth)：从根节点到该节点所经过的边的个数。

·高度(Height)：从该节点到最远叶节点所经过的边的个数。树的高度是根节点的高度。

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二、二叉树(Binary Tree)

二叉树是树结构中最常用的一种。它的特点是每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点(LeftChild)和右子节点(Right Child)

1.二叉树的C++节点定义

我们使用结构体来定义一个简单的二叉树节点：

#include <iostream>// 定义二叉树节点
struct TreeNode {int val;          // 节点存储的数据TreeNode* left;   // 指向左子节点的指针TreeNode* right;  // 指向右子节点的指针// 构造函数TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

2.二叉树的遍历

遍历是二叉树最基本也是最重要的操作，指的是按照某种顺序访问树中的每一个节点，且每个节点仅被访问一次。主要有四种方式：

（1）前序遍历(Preorder Traversal)

顺序：根→左子树 →右子树

应用：常用于复制整个树的结构。

void preorderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return; // 递归基：如果节点为空，则返回std::cout << root->val << " "; // 访问根节点preorderTraversal(root->left); // 递归遍历左子树preorderTraversal(root->right); // 递归遍历右子树
}

（2）中序遍历(Inorder Traversal)

顺序：左子树 → 根 → 右子树

应用：在二叉搜索树(BST)中，中序遍历会得到一个升序序列。

void inorderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;inorderTraversal(root->left);  // 递归遍历左子树std::cout << root->val << " "; // 访问根节点inorderTraversal(root->right); // 递归遍历右子树
}

（3）后序遍历(Postorder Traversal)

顺序：左子树→右子树→根

应用：常用于释放树的内存，因为先释放子节点再释放父节点是安全的。

void postorderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;postorderTraversal(root->left);  // 递归遍历左子树postorderTraversal(root->right); // 递归遍历右子树std::cout << root->val << " ";   // 访问根节点
}

（4）层序遍历(LevelOrder Traversal)

顺序：从上到下、从左到右逐层访问节点。
应用：求树的宽度、按层级处理数据。
实现：需要借助队列（Queue）这种数据结构。

#include <queue>void levelOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;std::queue<TreeNode*> q;q.push(root);while (!q.empty()) {TreeNode* current = q.front();q.pop();std::cout << current->val << " ";// 将当前节点的左子节点和右子节点入队if (current->left != nullptr) q.push(current->left);if (current->right != nullptr) q.push(current->right);}
}

三、完整的C++示例代码

下面是一个完整的程序，演示如何构建一个简单的二又树并进行各种遍历。

#include <iostream>
#include <queue>struct TreeNode {int val;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};class BinaryTree {
public:TreeNode* root;// 一个简单的创建二叉树的方法（手动构建）BinaryTree() {/* 构建如下结构的二叉树：1/ \\2   3/ \\4   5*/root = new TreeNode(1);root->left = new TreeNode(2);root->right = new TreeNode(3);root->left->left = new TreeNode(4);root->left->right = new TreeNode(5);std::cout << "二叉树创建成功！" << std::endl;}// 前序遍历void preorder(TreeNode* node) {if (node == nullptr) return;std::cout << node->val << " ";preorder(node->left);preorder(node->right);}// 中序遍历void inorder(TreeNode* node) {if (node == nullptr) return;inorder(node->left);std::cout << node->val << " ";inorder(node->right);}// 后序遍历void postorder(TreeNode* node) {if (node == nullptr) return;postorder(node->left);postorder(node->right);std::cout << node->val << " ";}// 层序遍历void levelOrder() {if (root == nullptr) return;std::queue<TreeNode*> q;q.push(root);while (!q.empty()) {TreeNode* current = q.front();q.pop();std::cout << current->val << " ";if (current->left != nullptr) q.push(current->left);if (current->right != nullptr) q.push(current->right);}}// 释放二叉树内存（后序遍历方式）void deleteTree(TreeNode* node) {if (node == nullptr) return;deleteTree(node->left);deleteTree(node->right);std::cout << "删除节点: " << node->val << std::endl;delete node;}~BinaryTree() {std::cout << "\\n开始销毁二叉树..." << std::endl;deleteTree(root);}
};int main() {BinaryTree tree;std::cout << "前序遍历: ";tree.preorder(tree.root);std::cout << std::endl;std::cout << "中序遍历: ";tree.inorder(tree.root);std::cout << std::endl;std::cout << "后序遍历: ";tree.postorder(tree.root);std::cout << std::endl;std::cout << "层序遍历: ";tree.levelOrder();std::cout << std::endl;return 0;// tree的析构函数会自动调用，释放内存
}

输出结果：

二叉树创建成功！
前序遍历: 1 2 4 5 3
中序遍历: 4 2 5 1 3
后序遍历: 4 5 2 3 1
层序遍历: 1 2 3 4 5开始销毁二叉树...
删除节点: 4
删除节点: 5
删除节点: 2
删除节点: 3
删除节点: 1

四、树的更多类型

除了普通的二又树，还有一些非常重要且实用的变体:

1. 二叉搜索树(BST)：对于任意节点，其左子树所有节点的值都小于它，右子树所有节点的值都大于它。这使得查找、插入、删除操作非常高效(平均时间复杂度O(log n))。

2. 平衡二叉搜索树(AVL树、红黑树)普通的BST在极端情况下会退化成链表。平衡树通过旋转操作自动保持树的平衡，确保操作效率稳定在O(logn)。std::map和 std::set 在C++中通常用红黑树实现。

3. 堆(Heap):一种特殊的完全二叉树，常用于实现优先队列和堆排序。

4. Trie树(字典树):-专门用于处理字符串集合，常用于搜索引擎的自动补全、拼写检查等。

总结

树是一种功能强大且灵活的数据结构，它为我们处理层次化、关联性数据提供了理想的模型。理解二叉树的基本概念、遍历方式及其C++实现，是学习更复杂树结构(如BST、AVL、B树等)的坚实基础。

希望这篇博文能帮助你打开树结构的大门！在后续的学习中可以重点关注二叉搜索树和平衡二叉树，它们是面试和实际项目中应用最广泛的树结构之一。

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最后，希望看到这里的Oler们，给个点赞和关注吧，我真的很想涨粉。ヽ(｀⌒´メ)ノ嗷嗷嗷~~~