数据结构——四十一、分块查找(索引顺序查找)（王道408）

前言

分块查找算法是一种结合顺序查找和索引查找的搜索方法。其核心思想是将无序元素分成若干有序块，建立索引表存储各块最大值和区间范围。查找时先通过顺序或折半方式定位索引块，再在该块内进行顺序查找。算法特点包括块内无序、块间有序。查找效率分析表明，当块数为√n时，顺序查找索引表可获得最优ASL(√n+1)，而折半查找索引表则使ASL为⌈log₂(b+1)⌉+(s+1)/2。对于动态查找表，采用链式存储能有效提升插入/删除效率。该算法在特定数据分布下能显著提高查找性能。

一.分块查找的算法思想

1.算法思想

1. 看似没有规律的元素,可以将他们分至一个个小区间,第一个区间内都是≤10的元素,第二个区间是≤20的元素,第三个区间是≤30的,以此类推
2. 所以我们看虽然这个数组当中的某一小个部分看起来是乱序的,但是当我们把它分成一块一块的小区间之后,会发现各个区间之间其实是有序的
3. 那我们可以给这个查找表,建立上一级的索引,“索引表”中保存每个分块的最大关键字和分块的存储区间

2.特点

• 块内无序、块间有序

3.代码定义

//索引表
typedef struct {ElementType maxValue;// 最大的关键字int low, high;// 分块的区间范围
}Index;//顺序表存储实际元素
ElementType List[100];

二.顺序查找查索引

• 假设要查找的关键字是22

1. 首先我们可以先查找这个索引表,从索引表的第一个元素开始依次往后找
2. 那第一个元素10<22,所以肯定是在下一个分块内
3. 20<22,所以还得往后找,第三个分块30是≥22的,所以如果22存在的话那么肯定是在30所指向的这个分块内
4. 因此接下来就从这个方块的起始位置6开始查找
5. 那6号元素不满足,所以往后找一位,接下来7号元素刚好22和我们要找的关键词是相等的,那到此为止就查找成功
6. 如果这分块内的所有元素都和查找目标不同,那么说明查找失败

三.用折半查找查索引

1.查找成功

• 假设查找目标为30

1. 那根据这个折半查找的规则,我们要在索引表的开头和末尾这两个元素之间尝试找到30这个关键字,那么mid等于low加high除以二,所以刚开始mid所指向的这个元素刚好就是30
   
2. 30指向的分块是从6开始,所以接下来会从6号元素开始往后依次的对比,那一直找到8号元素的时候查找成功

2.索引查找失败

1.给出关键字在索引表范围内

1.过程

• 假设查找目标为19

1. 和之前一样,mid指向low和high的中间位置
   
2. 19<30,所以我们应该让high等于mid-1,接下来low加high除以2,那mid就应该是指向0这个位置
   
3. 19>10,所以接下来我们应该让low等于mid+1同时mid等于low加high除以2
   
4. 19<20,high = mid - 1,现在low已经大于high了,所以按照折半查找的规则,查找应该失败了,但是其实我们的19应该在在low所指向的分块中
   
5. 所以接下来应该在low所指的分块当中来查找
6. 接下来的操作和之前查找成功的操作一致

2.结论

• 若索引表中不包含目标关键字，则折半查找索引表最终停在 low>high，要在low所指分块中查找

原理:折半查找失败,最后low大于high,但是在low大于high之前的那一步,肯定是low等于high,所以如果往回退一步的话.mid和low,high肯定是指向同一个位置
此时有可能发生两种情况$$\begin{array}{r}key是查找的目标关键字;\\ mid=\{\begin{array}{ll}<key,& low++①\\ >key,& high--②;\end{array}\end{array}$$
在情况1中,low在进行自增1的操作后一定比key大
在情况2中,high自减1而low不变
所以最终low大于high的时候,low这个指针所指向的位置的这个关键字肯定是要大于key
由于在分块查找的时候,我们总是找当前分块索引比目标关键字大的元素,因此可以在low指向分块进行查找

2.目标关键字超出索引范围

• 折半查找的过程和之前一样,最终结果是low超出了索引表范围,因此查找失败
  

四.查找效率分析(ASL)

1.一般情况

一般不考

1.分析过程

1. 共有14个元素，各自被查概率为1/14
2. 若索引表采用顺序查找，则7：2次、10：3次、13：3次…
3. 若索引表采用折半查找，则30：4次
   $$ASL=\sum _{i=1}^n{P}_i{C}_i$$

查找失败的情况更复杂…一般不考

2.特殊情况

1.分析过程

• 假设，长度为n的查找表被均匀地分为b块，每块s个元素
  

2.结论

1.总体结论

• 设索引查找和块内查找的平均查找长度分别为$L_1、L_2$，则分块查找的平均查找长度为
  $$ASL=L_1+L_2$$

2.用顺序查找索引表

$$\begin{array}{rl}& L_I=\frac{(1+2+\dots +b)}{b}=\frac{b+1}{2},\\ & L_S=\frac{(1+2+\dots +s)}{s}=\frac{s+1}{2};\\ & 则ASL=\frac{b+1}{2}+\frac{s+1}{2}=\frac{s^2+2s+n}{2s}\\ & 所以当s=\sqrt{n}时，AS{L}_{\text{最小}}=\sqrt{n}+1①\end{array}$$

• 最优ASL方案:式子①的意义在于把n个元素分为$\sqrt{n}$块,那么而每一个分块内有$\sqrt{n}$个元素,在这种情况下,可以保证ASL取得最小的值

3.用折半查找查索引表

$$\begin{array}{rl}& 则L_I=\lceil {\log }_2(b+1)\rceil ，\\ & L_S=\frac{(1+2+\cdots +s)}{s}=\frac{s+1}{2}\\ & 则\text{ASL}=\lceil {\log }_2(b+1)\rceil +\frac{s+1}{2}\end{array}$$

五.知识回顾与重要考点

六.拓展思考

• 若查找表是“动态查找表”，有没有更好的实现方式？
  答:现在如果这个查找表当中,经常需要进行元素的啊增加或者删除,比如现在我想要增加一个元素,这个元素的值是8,因为我们必须保证块间是有序的,所以如果我们要插入8这个数据,那我们只能在第一个分块内找一个位置插入.
  那就会导致我们需要把后面的所有元素全部后移一位,就会浪费大量的时间
  那么,解决方式就是链式存储,时间复杂度会显著降低
  

结语

一更😉

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