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SVM（支持向量机）

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原理

SVM的核心目标是找到一个最大化分类间隔的超平面，将不同类别的样本分隔开。其原理可分为三部分：

1. 线性可分情况

   • 通过硬间隔最大化确定超平面，确保所有样本正确分类且间隔最大
   • 间隔定义为超平面到最近样本（支持向量）的距离，优化目标为最小化权重向量的范数，同时满足约束条件。

2. 近似线性可分（软间隔）

   • 引入松弛变量允许部分样本违反间隔约束，通过调整惩罚参数C平衡分类精度与模型复杂度。

3. 非线性分类（核技巧）

   • 通过核函数将数据映射到高维空间，使其线性可分。例如，RBF核（径向基函数）通过计算样本间相似性实现非线性分割。

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关键概念

1. 支持向量

   • 定义：距离超平面最近的样本点，决定了超平面的位置和方向。
   • 作用：仅支持向量参与模型计算，赋予SVM稀疏性和高效性。

2. 对偶问题

   • 原始问题转化为对偶问题，通过拉格朗日乘子法简化求解，避免直接处理高维特征空间的内积计算。
   • 优势：便于引入核技巧，且对偶问题的解直接关联支持向量。

3. 核函数

   • RBF核（高斯核）：K(x,y) = exp(-γ||x-y||²)，适合处理复杂非线性问题，参数γ控制样本影响范围。
   • 多项式核：K(x,y) = (γx·y + r)^d，通过阶数d控制映射维度，适用于中等复杂度的非线性问题。

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损失函数：Hinge Loss

公式：L(y, f(x)) = max(0, 1 - y·f(x))

• 作用：惩罚误分类和间隔不足的样本，使得模型学习更大的分类间隔。
• 特性：在正确分类且间隔足够时为0，误分类时线性增长，保证解的稀疏性（仅支持向量贡献损失）。

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常见问题解答

Q1: 为什么SVM对缺失数据敏感？

• 原因：SVM依赖支持向量计算样本间距离或核矩阵，缺失值会破坏特征空间的几何结构，导致距离计算偏差。
• 影响：若缺失值出现在支持向量中，可能显著改变超平面位置，降低模型鲁棒性。

Q2: SVM如何解决多分类？

• OvO（One-vs-One）：构建k(k-1)/2个二分类器，通过投票决定类别，适合类别数较少的场景。
• 直接多类SVM：通过结构化SVM或修改优化目标直接处理多分类，但计算复杂度较高。