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Java数据结构：二叉树

news 2025/11/14 7:53:10

树型结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的节点，称为根节点，根结点没有前驱节点
除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继节点
树是递归定义的。

注意：

树形结构中，子树之间不能有交集/相交，否则就不是树形结构
除了根节点外，每个节点有且只有一个父节点
一棵N个节点的树有 N-1条边

重要概念

节点的度：一个节点含有子树的个数称为该节点的度；如上图：A的度为6

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6

叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

根节点：一棵树中，没有双亲节点的节点；如上图：A

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为堂兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

树的表示形式

树的结构相对线性表比较复杂，树的存储表示方式有：双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等，这里我们简单了解常用的方法：孩子兄弟表示法。

static class Node {public int val;//树中存储的数据public Node firstChild;//第一个孩子的引用public Node nextBrother;//下一个兄弟的引用
}

示例：

树一般应用在 文件系统管理(目录和文件)。

二叉树

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的节点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

两种特殊的二叉树

满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的节点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且节点总数是 $2^k-1$ ，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树（核心特征是除了最后一层，其他层都是满的，并且最后一层的节点都紧靠左边）。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的特性

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 $2^{i-1}$ (i>0)个节点
若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大节点数是 $2^k-1$ (k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶节点个数为 n0, 度为2的非叶节点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为 $log_2(n+1)$ 上取整
对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为 i 的节点有：

若 i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

解释为何对任何一棵二叉树, 如果其叶节点个数为 n0, 度为2的非叶节点个数为 n2,则有n0＝n2＋1这一条公式？

———— 上述的话简单来说，就是 度为0的节点会比度为2的节点多1个 。

公式的推导：

前面我们说过一棵N个节点的树有N-1条边，那么在二叉树的节点中，

度为0的节点n0 是产生不了边的
度为1的节点n1 可以产生 n1 条边
度为2的节点n2 可以产生 2*n2 条边
将所有的n1节点和n2节点的产生的边相加，就得到了一棵二叉树的边数，即 n1+2*n2=N-1
而二叉树的所有节点数是所有n0、n1和n2节点的和，即 n0+n1+n2=N
结合上述的两条表达式，最终九得出了公式 n0=n2+1

例题练习

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

分析：由 n=n0+n1+n2 得出，399=n0+n1+199 ——> n0+n1=200

又有 n-1=n1+2*n2 ——> 398=n1+2*199=n1+398 ——> n1=0

代入得出，n0=200-0=200 ，即叶子节点数等于200。

总结：如果二叉树中的节点数是奇数，那么度为1的节点n1=0，二叉树的节点数n=n0+n2。

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

分析：由第一道题的分析，我们可以知道，此时的二叉树中节点数为偶数，也就是该完全二叉树中，从上到下从左到右最后一个子树只有一个节点，这也是唯一一个度为1的节点，所以n1=1。

由 2n=n0+n1+n2 得出 ——> 2n=n0+1+n2 ——> 2n-1=n0+n2

又有 n0=n2+1 ——> 2n-1=n0+n0-1 ——> 2n=2n0 ——> n=n0，即叶子节点的个数为n。

总结：如果二叉树中的节点数是偶数，那么度为1的节点n1=1，而且度为0的节点数等于度为2的节点数，即 n0=n2=n，等于总节点数的一半。

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

分析：767=n0+n1+n2=n0+n2=n0+n0-1 ——> 768=2n0 ——> n0=384

4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（）

分析：由 $log_2(n+1)$ 得出，高度/深度K= $log_2(531+1)$ = $log_2532$ ——> $2^9=512$ ——>向上取整 $2^{10}=1024$ ，即这棵树的高度为10。

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

现在我们先学习链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉(孩子表示法)和三叉(孩子双亲表示法)表示方式，具体如下：

//孩子表示法
static class Node {public int val;//数据域public Node left;//左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树public Node right;//右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
//孩子双亲表示法
static class Node {public int val;//数据域public Node left;//左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树public Node right;//右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树public Node parent;//当前节点的根节点
}

本文采用孩子表示法来构建二叉树。

二叉树的基本操作

回顾一下二叉树的知识：要么二叉树是空的，要么非空，由根节点、根节点的左子树、根节点的右子树组成。而且二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

在学习二叉树的基本操作之前，先学习二叉树的遍历方式。

二叉树的遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加 1)。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算的基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

1.前序遍历

访问根结点--->根的左子树--->根的右子树

例如，遍历打印：前序遍历就是在遍历的过程中，如果遇到根节点，就打印该根节点，再往后遍历，一定是先遍历根的左子树（在该左子树中，又会有根节点、左子树和右子树的分支，全部遍历完后返回到该左子树，在进行右子树的遍历），然后遍历根的右子树（该右子树又有根节点、左子树和右子树），全部遍历打印完后，返回根节点，此时表示左子树和右子树全部遍历打印完成，返回按前序遍历打印的节点的数据。（递归思想）

2.中序遍历

根的左子树--->根节点--->根的右子树

例如，遍历打印：中序遍历就是在遍历过程中，每次遇到根节点时，先不打印，而是要先遍历打印根的左子树，遍历完左子树之后，沿路返回到根节点，将这个根节点打印后，接着沿路遍历右子树，遍历打印完右子树后，再沿路返回根节点，最后出递归。（递归思想）

3.后序遍历

根的左子树--->根的右子树--->根节点

例如，遍历打印：后序遍历就是在遍历过程中，每次遇到根节点，先不打印，而是要先遍历打印根的左子树，遍历完左子树之后，沿路返回根节点，依然不打印，而是先要遍历打印完成根的右子树之后，沿路又返回根节点，将根节点打印出来，最后出递归。（递归思想）

4.层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的节点的过程就是层序遍历。

例题练习

根据二叉树的三种遍历方式，推断遍历顺序

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()

分析：前序遍历是按照根节点 -> 根的左子树 -> 根的右子树的顺序遍历的，因此，该完全二叉树的前序序列为 A B D H E C F G

2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()

分析：由于前序遍历的遍历顺序，我们知道，它遍历的第一个节点就是根节点，即根节点为E。

3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()

分析：由后序遍历序列可知，根节点为最后一个节点，即为a，根据中序遍历序列和后序遍历序列复原二叉树的形状，然后再得出前序遍历序列。

4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()

分析：依然由后序遍历序列可知，根节点为F，根据后序遍历序列和中序遍历序列复原二叉树的形状，然后得出层次输出序列。

了解完二叉树的三种遍历方式，现在用代码来实现前/中后序遍历。

实现前/中/后序遍历

首先先创建一个二叉树类BinaryTree，然后创建二叉树节点（使用前面所说的孩子表示法创建）：

public class BinaryTree {//创建二叉树节点static class TreeNode {public char val;public TreeNode left;//存储左孩子的引用public TreeNode right;//存储有孩子的引用public TreeNode(char val) {this.val = val;}}
}

接着以下图的二叉树为模板，创建一棵二叉树（以下代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解，这里只是为了能够方便二叉树的学习而简单创建的）：

public class BinaryTree {//创建二叉树节点static class TreeNode {public char val;public TreeNode left;//存储左孩子的引用public TreeNode right;//存储有孩子的引用public TreeNode(char val) {this.val = val;}}//创建二叉树public TreeNode createTree() {TreeNode A = new TreeNode('A');TreeNode B = new TreeNode('B');TreeNode B = new TreeNode('C');TreeNode B = new TreeNode('D');TreeNode B = new TreeNode('E');TreeNode B = new TreeNode('F');TreeNode B = new TreeNode('G');TreeNode B = new TreeNode('H');A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.left = E;C.left = F;C.right = G;E.right = H;return A;//返回根节点    }
}

接着开始实现二叉树的遍历方式（记住二叉树是递归定义的，在实现遍历方式时，也是递归的思路）

前序遍历

方法一：如果二叉树为空（根节点root为null），直接返回；不为空，就按照前序遍历的思路进行代码实现：先遍历根节点，然后再遍历左子树，最后遍历右子树（递归）。

public void preOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}System.out.print(root.val + " ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);
}

递归图解：

方法二：在方法一中，是在边遍历的过程中边打印结果，并没有将前序遍历的结果进行保存，那么方法二就是要将结果保存起来：创建一个List列表，将遍历的结果保存在列表中，最后返回该列表

public List<Character> preorderTraversal(TreeNode root) {List<Character> list = new ArrayList<>();if(root == null) {return list;}list.add(root.val);List<Character> leftTree = preorderTraversal(root.left);list.addAll(leftTree);List<Character> rightTree = preorderTraversal(root.right);list.addAll(rightTree);return list;
}

递归图解：

注意：上述的两种方法都是子问题思路。

子问题是指与原问题具有相同结构但规模更小的问题。在这个例子中：

原问题：遍历整棵二叉树（根-左子树-右子树）
子问题：遍历左子树和遍历右子树（左子树根-左子树中的左子树-左子树中的右子树等）

中序遍历

方法一：思路与前序遍历一样，只是变成先遍历左子树，再遍历根，最后遍历右子树。

public void inOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val + " ");inOrder(root.right);
}

方法二：与前序遍历一样的思路。

public List<Character> inorderTraversal(TreeNode root) {List<Character> list = new ArrayList<>();if(root == null) {return list;}List<Character> leftTree = inorderTraversal(root.left);list.addAll(leftTree);list.add(root.val);List<Character> rightTree = inorderTraversal(root.right);list.addAll(root.right);return list;
}

后序遍历

方法一：与前序遍历的思路一样，只是变成了先遍历左子树，再遍历右子树，最后遍历根。

public void postOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val + " ");
}

方法二：与前序遍历的思路一样。

public List<Character> postorderTraversal(TreeNode root) {List<Character> list = new ArrayList<>();if(root == null) {return list;}List<Character> leftTree = postorderTraversal(root.left);list.addAll(leftTree);List<Character> rightTree = postorderTraversal(root.right);list.addAll(rightTree);list.add(root.val);return list;
}

二叉树遍历的实现到这里就结束了，接下来学习二叉树中的基本操作。

二叉树基本操作

还是按照之前遍历方式的那棵二叉树为例。

size() 获取二叉树中节点的个数

思路1：定义一个成员变量nodeSize，只要root不为空，记录遍历二叉树时节点的个数，每遍历一个节点就++，还是先遍历左子树，再遍历右子树。如果二叉树为空，则直接返回。

public static int nodeSize;
public void size(TreeNode root) {if(root == null) {return;}nodeSize++;size(root.left);size(root.right);
}

思路2：子问题思路：整棵二叉树的节点=左子树的节点+右子树的节点+根节点root(root即为1)

再细分，就是二叉树的节点=左子树中的左子树的节点+右子树的节点+root + 右子树中的左子树的节点+右子树的节点+root （等等，还可以再细分，直到遇到叶子节点返回）

public int size(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}return size(root.left) + size(root.right) + 1;
}

递归图解：

getLeafNodeCount() 获取叶子节点的个数

当一个根节点root的左子树和右子树都为空时，就是叶子节点，即root.left==null&&root.right==null。

思路1：定义一个成员变量leafSize，如果root符合上述叶子节点的特征，则leafSize++，否则继续递归。

public static int leafSize;
public void getLeafNodeCount(TreeNode root) {if(root == null) {return;}if(root.left == null && root.right == null) {leafSize++;}getLeafNodeCount(root.left);getLeafNodeCount(root.right);
}

思路2：子问题思路：整棵二叉树的叶子节点=左子树的叶子节点+右子树的叶子节点

如果是叶子节点的话，就返回一个1，否则继续递归。

public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}if(root.left == null && root.right == null) {return 1;}return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
}

递归图解：

getKLevelNodeCount() 获取第K层节点的个数

思路1：定义一个成员变量kSize，记录遍历的第K层节点的个数。思路如下图所示：

public static int kSize;
public void getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {if(root == null) {return;}if(k == 1) {kSize++;}getKLevelNodeCount(root.left,k-1);getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}

思路2：子问题思路：第K层节点的个数=左子树的第K-1层+右子树的第K-1层

如果是第K层上的节点，则返回1，否则继续递归。

public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {if(root == null) {return 0;}if(k == 1) {return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}

递归图解：

getHeight() 获取二叉树的高度

思路：子问题思路：前面我们在学习二叉树概念的时候说过，二叉树的高度/深度是树中节点的最大层次，也就是说，可以先比较根的左子树和右子树高度，谁的高度高，就取谁的高度去加上root根节点(1)，最终的结果就是二叉树的高度。

public int getHeight(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}int leftHeight = getHeight(root.left);int rightHeight = getHeight(root.right);return Math.max(leftHeight,rightHeight) + 1;    
}

递归图解：

findVal() 检测值为value的元素是否存在

思路：遍历二叉树，有四种情况：

根节点的值就是value，那么直接返回根节点root。
如果不是root，那就判断左子树中是否有值为value的节点，如果有将该节点存放在leftTree引用中，如果leftTree为null，则说明左子树中并没有值为value的节点。
如果leftTree==null，那么判断右子树中是否有值为value的节点，步骤和左子树的判断相同。
如果rightTree==null，则说明右子树中也没有值为value的节点，也就是说整个二叉树中没有值为value的节点。

public TreeNode findVal(TreeNode root,char value) {if(root == null) {return null;}if(root.val == value) {return root;}TreeNode leftTree = findVal(root.left);if(leftTree != null) {return leftTree;}TreeNode rightTree = findVal(root.right);if(rightTree != null) {return rightTree;}return null;//以上都不是，说明二叉树中没有值为value的节点，返回null
}

levelOrder() 层序遍历

思路1：层序遍历就是从上到下从左到右遍历二叉树的节点，那么可以借用队列实现层序遍历（当然也是递归的思路）。

具体做法：首先实例化一个Queue对象，先将二叉树的根节点root插入到队列中；每次当队列不为空时，进入循环：将队列中的队头元素出队列，同时定义一个cur引用存放该队头元素，将该元素打印出来，如果cur的左子树left不为null，则将left插入到队列中，如果cur的右子树right也不为null，则将right页插入到队列中；此时的队列还是不为空，继续将队列的队头元素出队，打印该元素，重复上述操作，将此时的出队的队头元素的left入队，right入队(不为null时)。直到二叉树层序遍历打印完成，结束循环。

public void levelOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();System.out.print(cur.val + " ");if(cur.left != null) {queue.offer(cur.left);}    if(cur.right != null) {queue.offer(cur.right);}}
}

思路2：在方法一中，是在边遍历的过程中边打印结果，并没有将前序遍历的结果进行保存，那么方法二就是要将结果保存起来：与前中后序遍历不同的是，层序遍历是采用列表式的二维数组存储的，即二维列表List<LIst<>>，最后返回该二维列表。

示例：输入：root = [A,B,D,null,null,E,null,null,C,F,null,null,G,null,null]

输出：[ [A] , [B,C] , [D,E,F,G] ]

（如果对什么是二维列表不了解，请看这篇文章：https://blog.csdn.net/Zzzzmo_/article/details/152507227?spm=1001.2014.3001.5502）

只需要改变上面一种方法的一处，就是在每次打印节点值的部分，改成将节点值存放在二维列表的列表中，具体做法：

先将root存放到队列后，此时的队列不为空，进入循环：实例化一个一维列表，求此时队列的长度size，size是多大，就进行多少次循环：将队列中的节点出队列并使用cur引用接收，顺便查看cur的left和right，结束循环时，将一维列表中的节点存放到二维列表中；在新的一轮的循环中再次计算size，将队头元素出队，将它的左子树节点和右子树节点入队，然后将此时的新的一维列表中的节点存放到二维列表中，重复操作，直到全部节点都存放到二维列表中，出循环，返回该二维列表。

public TreeNode levelOrder(TreeNode root) {List<LIst<Character>> ret = new ArrayList<>();if(root == null) {return ret;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()) {int size = queue.size();List<Character> list = new ArrayList<>();while(size != 0) {TreeNode cur = queue.poll();list.add(cur.val);if(cur.left != null) {queue.offer(cur.left);}if(cur.right != null) {queue.offer(cur.right);}size--;}ret.add(list);}return ret;
}

isCompleteTree() 判断一棵树是不是完全二叉树

依然借助队列实现该代码。

首先要知道队列中是可以存放null，这时候就要区分二叉树什么时候是空，什么时候是非空：如果队列中存放的是4个null，那么计算该队列的大小就是4，说明队列存放null是可以的，不代表队列是空；如果队列中什么都没有，即没有存放null或者其他有效的元素，这时候才是真正的空。

思路：按照层序遍历的方式，将所有节点存放到队列中，期间定义一个cur引用接收出队列的队头元素，由于完全二叉树的性质，知道最终所有元素出对后，队列中的元素只会剩下null，这就表示该树是一颗完全二叉树，如果剩下的元素有null又不是null的元素，表示不是完全二叉树。

具体思路：当二叉树为空时，将其视为是一个完全二叉树。每次将root存放到队列中，当队列不为空时，进入循环，定义一个cur引用，将队头元素root出队列，cur接收这个结果，如果每次cur接收到的元素不是null，则将cur的left和right存放到队列中，如果是null，则break跳出循环；

此时判断队列中剩余的元素，当队列不为空时，进入循环，每次获取一下队列的队头元素，如果该元素等于null，将其出队列，然后继续循环，如果剩余元素全部都出队列了，那说明剩余的元素都是null，二叉树是完全二叉树；如果在获取队头元素期间，发现该元素不等于null，那就说明剩下的元素不都是null，说明二叉树不是完全二叉树，返回false。

为完全二叉树的情况：

不为完全二叉树的情况：

public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {if(root == null) {return true;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();if(cur != null) {queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);}else {break;}}while(!queue.isEmpty()) {TreeNode peek = queue.peek();if(peek != null) {return false;}queue.poll();}return true;
}

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http://www.dtcms.com/a/605801.html