ZC序列的原理及在LTE中的应用

一、ZC序列的数学原理

ZC序列，全称Zadoff-Chu序列，是以其发明者所罗门·扎多夫和D.C.楚的名字命名的。它是一种特殊的复数值序列，拥有近乎理想的自相关特性和良好的互相关特性。

1. 数学定义

一个长度为 NZC​ 的ZC序列，其第 n 个元素（n=0,1,2,...,NZC​−1）定义为：

其中：

• u 是序列的根索引 或根序号，是一个与 NZC​ 互质的整数，即 gcd(u,NZC​)=1。

• NZC​ 是序列的长度。

在LTE中，PSS使用的序列长度为63（实际使用62个，后面会解释），并且是奇数，所以我们主要关注第一个公式。

2. 核心特性

ZC序列之所以强大，源于其以下几个关键特性：

a) 恒包络特性
序列中每个元素的模（幅度）恒为1，即 ∣xu​(n)∣=1。这意味着：

低峰均功率比：在时域发送时，信号的峰值功率和平均功率的比值很低，这允许功率放大器工作在高效区，降低了硬件成本和功耗。

b) 理想的循环自相关性
这是ZC序列最核心、最重要的特性。它的循环自相关函数在零时延处是一个冲激函数，而在非零时延处为零。

数学表达：一个序列 xu​(n) 与其自身的循环移位 xu​((n+τ)modNZC​) 的互相关函数为：

物理意义与优势：

精准的定时同步：在接收端，当接收到一个被噪声和信道畸变污染的ZC序列时，接收机可以通过与本地ZC序列进行相关运算来检测。相关器只会在序列完全对齐时输出一个尖锐的峰值，在其他时延点输出几乎为零。这个峰值的位置就精确地指示了符号的起始位置。

抗多径干扰：在多径信道中，信号会经过不同路径以不同时延到达。由于ZC序列的自相关性在非零时延处为零，每条多径分量在相关器输出中会产生一个独立的、可分辨的峰值。这实际上将“有害”的多径干扰，转变为了“有益”的分集增益，接收机可以利用这些峰值进行合并（如Rake接收机），反而提升了性能。

c) 良好的互相关性
两个不同根索引（u 和 v）的ZC序列之间的互相关值始终很低，并且有界。

数学表达：，对于所有 τ。

物理意义与优势：

小区身份识别：在蜂窝系统中，不同的小区可以使用不同根索引的ZC序列作为其同步信号。由于互相关性低，即使来自邻区的小区信号很强，终端也能准确地将它们区分开来，不会错误地锁定到错误的小区。

抗干扰：降低了不同小区同步信号之间的相互干扰。

d) 频域平移等价于时域循环移位
对ZC序列进行离散傅里叶变换后，在频域进行一个循环移位，再变换回时域，等价于在时域进行一个循环移位并乘以一个线性相位。

数学表达：

物理意义与优势：

简化接收机设计：这个特性使得无论是在时域还是频域进行同步检测，都非常方便。LTE的PSS检测就可以利用频域特性进行高效处理。

二、ZC序列在LTE PSS中的应用

在LTE中，主同步信号用于完成下行链路同步的第一步：符号定时同步 和频率同步（子帧定时），并标识物理层小区身份组内的ID

1. PSS序列的生成

序列长度：PSS使用长度为 NZC​=63 的ZC序列。但为了避免直流子载rier对射频的影响，序列中心的元素（即第32个元素，索引从0开始）被置零，不进行传输。因此，实际在频域映射的子载波是62个。

根索引的选择：LTE标准为三个不同的PSS（）选择了三个特定的根索引 u：

为什么选择25, 29, 34？
这是一个经过精心优化的选择，主要基于以下考虑：

• 低互相关性：这三个序列之间的互相关性要尽可能低，以确保终端能清晰地区分它们。

• 低自相关性旁瓣：即使在存在大的载波频率偏移时，它们的自相关函数的旁瓣也要足够低，以避免错误的峰值检测。

• 计算复杂度：这些特定的 u 值使得生成的序列具有某种共轭对称性，可以简化接收端相关器的实现，降低计算复杂度。

2. PSS的时频结构

频域：生成的62个元素的频域序列被映射到同步信号专用的62个子载波上（DC子载rier两侧各31个）。

时域：PSS在每个无线帧的第0号和第5号子帧的第一个时隙的最后一个OFDM符号中发送。无论系统带宽是多少（1.4MHz到20MHz），PSS的位置和结构都是固定的，这简化了终端的初始搜索过程。

3. 终端如何利用PSS进行同步

当终端开机或进入新区域时，它会执行“小区搜索”过程，PSS检测是第一步：

粗定时同步与PSS检测：

终端在时域对接收到的信号进行滑动窗口相关计算，使用本地存储的三个可能的PSS序列（根索引为25,29,34）作为参考。

得益于ZC序列理想的循环自相关性，当接收信号与本地PSS序列对齐时，相关器会输出一个非常尖锐的峰值。

通过寻找这个峰值的位置，终端可以确定OFDM符号的精确起始边界（符号定时同步）。

同时，峰值是由哪个根索引的本地序列产生的，就告诉了终端 的值。

频率同步（载波频率偏移估计）：

大的频率偏移会破坏正交性，导致无法通信。PSS的对称性等特性可以被用来估计和纠正载波频率偏移。

一种常见方法是利用PSS在时域上的重复特性（由ZC序列的数学结构决定）或通过比较接收到的PSS与本地PSS的相位旋转来估计偏移量。

抗多径能力：

在城市等环境中，信号会经过反射形成多径。由于ZC序列的自相关特性，每条路径都会在相关器输出端产生一个清晰的峰值。接收机可以识别出最强的路径或多个路径来进行精确的定时，从而对抗多径衰落的影响。

三、总结

ZC序列是LTE同步的基石：它凭借其理想的循环自相关和良好的互相关特性，完美地解决了初始接入中最关键、最困难的定时和小区识别问题。

从“干扰”到“增益”：在多径环境下，传统的序列可能会因为自相关性不佳而导致性能恶化，而ZC序列则将多径分量转化为可分辨的“回声”，反而可能被利用来提升同步的鲁棒性。

设计权衡的典范：LTE PSS对ZC序列根索引（25,29,34）的选择，体现了通信标准设计中在性能（低互相关/旁瓣）、复杂度和 robustness（抗频偏）之间的精妙权衡。

这种出色的设计也延续到了5G NR中，5G的PSS同样采用了ZC序列（长度为127），再次证明了ZC序列在无线通信同步领域不可撼动的地位。