线性代数 - 二阶矩阵的行列式、向量叉积（Cross product）的模长与平行四边形面积的关系

线性代数 - 二阶矩阵的行列式、向量叉积（Cross product）的模长与平行四边形面积的关系

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先说结论

对于平面${\mathbb{R}}^2$中的两个向量$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$和$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$：
它们张成的平行四边形面积为$|\text{底}\times \text{高}|=\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert |\sin \theta |$（$\theta$是$\mathbf{u}$与$\mathbf{v}$的夹角）。
这两个向量构成的二阶矩阵$\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$的行列式为$\det =ad-bc$，其绝对值$|ad-bc|$恰好等于平行四边形的面积。

开始

“Cross product” 文是叉积（也称为向量积或叉乘）。

${\mathbb{R}}^2$ 表示二维实数空间，即平面直角坐标系中的所有点，每个点由两个实数组成的有序对$(x,y)$表示。

${\mathbb{R}}^3$ 表示三维实数空间，即立体空间中的所有点，每个点由三个实数组成的有序组$(x,y,z)$表示

空心的$\mathbb{R}$是实数集的符号，表示包含所有有理数和无理数的集合。

${\mathbb{R}}^n$ 就是“$n$维实数空间”，其中每个元素是$n$个实数构成的有序组，$\mathbb{R}$作为基础，定义了空间中坐标的取值范围（全体实数）。

若$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是${\mathbb{R}}^3$中的向量，则$\Vert \mathbf{u}\times \mathbf{v}\Vert$等于由$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$张成的平行四边形的面积。

由两个向量张成的平行四边形

平行四边形的面积等于“底边长×高”。
平行四边形的底边长为$\Vert \mathbf{u}\Vert$，高为$\Vert \mathbf{h}\Vert$。
观察直角三角形$OP{P}^{\prime }$，得$\Vert \mathbf{h}\Vert =\Vert \mathbf{v}\Vert \sin \theta$。
因此，平行四边形的面积为$\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \sin \theta$（因$\theta \in (0,\pi )$，可省略绝对值），
即等于$\Vert \mathbf{u}\times \mathbf{v}\Vert$。

若$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是${\mathbb{R}}^3$中的向量，则
$$\Vert \mathbf{u}\times \mathbf{v}\Vert =\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert |\sin (\theta )|,$$
其中$\theta$是$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$之间的夹角。

原因

设$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是${\mathbb{R}}^3$中的向量，其中
$$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\text{且}\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right).$$
为避免处理平方根，先计算$\Vert \mathbf{u}\times \mathbf{v}{\Vert }^2$：
$$\begin{array}{rl}\Vert \mathbf{u}\times \mathbf{v}{\Vert }^2& =(a_2{b}_3-a_3{b}_2{)}^2+(a_3{b}_1-a_1{b}_3{)}^2+(a_1{b}_2-a_2{b}_1{)}^2\\ & =(a_2^2{b}_3^2-2a_2{b}_3{a}_3{b}_2+a_3^2{b}_2^2)+(a_3^2{b}_1^2-2a_3{b}_1{a}_1{b}_3+a_1^2{b}_3^2)+(a_1^2{b}_2^2-2a_1{b}_2{a}_2{b}_1+a_2^2{b}_1^2)\\ & =(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3{)}^2\\ & =\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2-(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}{)}^2\\ & =\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2-(\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \cos (\theta ){)}^2\\ & =\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2(1-{\cos }^2\theta )\\ & =\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2{\sin }^2\theta .\end{array}$$
对等式两边取平方根，得
$$\Vert \mathbf{u}\times \mathbf{v}\Vert =\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert |\sin (\theta )|,$$
因为$\sqrt{{\sin }^2\theta }=|\sin \theta |$。

两个向量叉积$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$的模长恰好等于$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$张成的平行四边形的面积

由向量$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$和$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$张成的平行四边形$OACB$的面积由$|ad-bc|$给出，即$ad-bc$的绝对值。

$ad-bc=\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \sin (\phi )$，其中$\phi$是从$\mathbf{u}$逆时针到$\mathbf{v}$的角，我们称这个角为从$\mathbf{u}$到$\mathbf{v}$的有向角。

两个向量构成的二阶矩阵$\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$的行列式为$\det =ad-bc$，其绝对值$|ad-bc|$恰好等于平行四边形的面积

我们同样可以借助叉积的性质，但实际上无需提升到三维空间。通过一个小技巧，可将行列式转化为内积：
$$ad-bc=\left(\begin{array}{c}a\\ -b\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)={\mathbf{u}}^{\perp }\cdot \mathbf{v},$$
其中${\mathbf{u}}^{\perp }$是与$\mathbf{u}$垂直、指向$\mathbf{u}$左侧且长度与$\mathbf{u}$相同的向量。平行四边形$OACB$和正交向量${\mathbf{u}}^{\perp }$

因此，
$$ad-bc={\mathbf{u}}^{\perp }\cdot \mathbf{v}=\Vert {\mathbf{u}}^{\perp }\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \cos (\vartheta ),$$
其中$\vartheta$是${\mathbf{u}}^{\perp }$和$\mathbf{v}$之间的角。这里$h=\Vert \mathbf{v}\Vert \cos (\vartheta )$（带正负号）是$\mathbf{v}$在$\mathbf{u}$垂线方向上的投影长度，可解释为平行四边形的高。于是：
$$\begin{array}{rl}\Vert {\mathbf{u}}^{\perp }\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \cos (\vartheta )& =\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \cos (\vartheta )\\ & =\pm (\text{底边长})\times \text{高}\\ & =\pm \text{平行四边形}OACB\text{的面积}.\end{array}$$

经整理可得：
$$\begin{array}{rl}ad-bc& =\Vert {\mathbf{u}}^{\perp }\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \cos (\vartheta )\\ & =\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \cos \left(\frac{\pi }{2}-\phi \right)\\ & =\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \sin (\phi ),\end{array}$$
其中$\phi$是从$\mathbf{u}$逆时针到$\mathbf{v}$的角。

可见，当从$\mathbf{u}$到$\mathbf{v}$的有向角小于$\pi$时，$ad-bc$等于平行四边形的面积；当角在$\pi$到$2\pi$之间时，$ad-bc$等于该面积的负值。我们称其为有向面积。

${\mathbb{R}}^2$中两个向量$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$和$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$的有序对$(\mathbf{u},\mathbf{v})$的行列式定义为
$$\det (\mathbf{u},\mathbf{v})=ad-bc.$$

或者，行列式可视为作用于$2\times 2$矩阵的算子，记法为：
$$\det (\mathbf{u}\mathbf{v})=\det \left(\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\right)=\left|\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right|=ad-bc.$$

除面积外，行列式还能反映$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$的相对位置。实际上，我们可通过行列式定义平面中两个向量的定向（后续也可定义${\mathbb{R}}^n$中$n$个向量的定向）。

若两个线性无关向量$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$的有序对$(\mathbf{u},\mathbf{v})$满足$\det (\mathbf{u},\mathbf{v})>0$，则称其为正定向；若$\det (\mathbf{u},\mathbf{v})<0$，则称其为负定向。

左图：二维空间的平行四边形面积（行列式/有向面积）

在二维实数空间${\mathbb{R}}^2$中，向量$\mathbf{u}=(u_1,u_2)$和$\mathbf{v}=(v_1,v_2)$张成一个平行四边形。
其有向面积（带符号的面积，符号反映向量的“定向”）由公式$u_1{v}_2-u_2{v}_1$给出，这正是二阶矩阵$\left(\begin{array}{cc}{u}_1& v_1\\ u_2& v_2\end{array}\right)$的行列式。
面积的绝对值就是平行四边形的实际面积

右图：三维空间的叉积与外积

在三维实数空间${\mathbb{R}}^3$中，向量$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$的运算体现了“空间元素”的不同刻画：
叉积（$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$）：是一个向量，方向垂直于$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$所在的平面，模长等于$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$张成的平行四边形的面积。图中紫色箭头的长度反映面积大小，方向体现空间垂直方向的定向。
外积（$\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}$）：是一个二维平面元素，直接刻画了$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$张成的平行四边形“本身”（包含面积和平面的定向信息）。图中紫色的平行四边形区域就是外积所表示的“平面块”，绿色小平行四边形可理解为单位化的参考。

上面提到了外积
外积（$\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}$”）外积可以作为张量积（tensor product/outer product），外积也可以作为楔积（wedge product/exterior product）

叉积（$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$）仅在三维空间中存在，结果是一个向量（方向垂直于原平面，模长为平行四边形面积）。
外积（$\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}$）在任意$n$维空间中都可定义，结果是一个**“2-向量”（或“二维 blade”），它直接表示$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$张成的平行四边形本身**（包含面积、平面的定向，以及子空间的“位置”信息）。

例子

设$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是${\mathbb{R}}^3$中的向量，其中
$$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\text{且}\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right).$$
叉积$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$定义为
$$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right).$$

我们来计算下列向量$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$的叉积。
$$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)\text{且}\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 5\end{array}\right).$$
根据定义，$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$等于
$$\left(\begin{array}{c}1\cdot 5-4\cdot 6\\ 4\cdot 3-2\cdot 5\\ 2\cdot 6-1\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-19\\ 2\\ 9\end{array}\right).$$
你可能会注意到一个特别之处：向量$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$与$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$都正交。事实上，$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$和$\mathbf{u}$的点积为$(-19)\cdot 2+2\cdot 1+9\cdot 4=-38+2+36=0$，$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$和$\mathbf{v}$的点积为$(-19)\cdot 3+2\cdot 6+9\cdot 5=-57+12+45=0$。

若$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是${\mathbb{R}}^3$中的向量，则$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$与$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$都正交。

证明

设$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是${\mathbb{R}}^3$中的向量，其中
$$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\text{且}\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right).$$
要证明$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$和$\mathbf{u}$正交，需证明它们的点积为零。计算点积：
$$\begin{array}{rl}(\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{u}& =(a_2{b}_3-a_3{b}_2)\cdot a_1+(a_3{b}_1-a_1{b}_3)\cdot a_2+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)\cdot a_3\\ & =a_2{b}_3{a}_1-a_3{b}_2{a}_1+a_3{b}_1{a}_2-a_1{b}_3{a}_2+a_1{b}_2{a}_3-a_2{b}_1{a}_3\\ & =0.\end{array}$$
类似地，可证明$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$和$\mathbf{v}$的点积也为零。