数据结构——四十二、二叉排序树（王道408）

前言

本文介绍了二叉排序树（BST）的定义、查找、插入、构造和删除操作。二叉排序树是一种左子树结点值小于根结点值，右子树结点值大于根结点值的特殊二叉树，其中序遍历可得到递增序列。查找操作通过比较关键字值在左右子树中递归搜索。插入操作根据关键字大小决定插入位置。构造BST即不断插入新结点的过程。删除操作需分三种情况处理：删除叶子结点、仅有一棵子树的结点或两棵子树的结点。对于同时有左右子树的结点，可采用直接后继代替法处理。文章通过图示和代码示例详细说明了各操作的实现过程和应用场景。

一.二叉排序树的定义

• 二叉排序树，又称二叉查找树（BST）. Binary Search Tree)
• 一棵二叉树或者是空二叉树，或者是具有如下性质的二叉树：
  左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；
  右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字。
  左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。

左子树结点值 < 根结点值 < 右子树结点值
进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列

二叉排序树可用于元素的有序组织、搜索

二.二叉排序树的查找

1.思路

• 若树非空，目标值与根结点的值比较：
• 若相等，则查找成功；
• 若小于根结点，则在左子树上查找，否则在右子树上查找。
• 查找成功，返回结点指针；查找失败返回NULL

2.代码

//二叉排序树结点
typedef struct BSTNode{int key;struct BSTNode *lchild,*rchild;
}BSTNode,*BSTree;//在二叉排序树中查找值为 key 的结点
BSTNode *BST_Search(BSTree T,int key){while(T!=NULL&&key!=T->key){//若树空或等于根结点值，则结束循环if(key<T->key) T=T->lchild;//小于，则在左子树上查找else T=T->rchild;//大于，则在右子树上查找}return T;
}//在二叉排序树中查找值为 key 的结点（递归实现）
BSTNode *BSTSearch(BSTree T,int key){if (T==NULL)return NULL;//查找失败if (key==T->key)return T;//查找成功else if (key<T->key)return BSTSearch(T->lchild, key); //在左子树中找elsereturn BSTSearch(T->rchild, key); //在右子树中找
}

• 循环迭代算法空间复杂度:O(1)
• 递归空间复杂度:O(h),h为树的高度

3.使用过程

• 查找关键字为30的结点

1. 从根节点出发,如果当前访问的节点是一个非空节点,并且我们要找到那个值是要大于当前节点的,那么根据排序数的特性,我们要找的点肯定是在右子树中,所以我们可以让指针往他的右孩子方向走
   
2. 现在我们要查找的节点30要比50更小,那肯定是在50这个节点的左子树上,所以就可以往左走
   
3. 接下来的操作类似,结果如下:
   
4. 假设此时T指向的是NULL,说明查找失败

三.二叉排序树的插入

1.思路

• 若原二叉排序树为空，则直接插入结点；否则，若关键字k小于根结点值，则插入到左子树，若关键字k大于根结点值，则插入到右子树

2.代码

//在二叉排序树插入关键字为k的新结点（递归实现）
int BST_INSERT(BSTree&T, int k){if(T==NULL){	//原树为空，新插入的结点为根结点T=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));T->key=k;T->lchild=T->rchild=NULL;return 1;	//返回1，插入成功}else if(k==T->key)	//树中存在相同关键字的结点，插入失败return 0;else if(k<T->key)	//插入到T的左子树return BST_INSERT(T->lchild,k);else	//插入到T的右子树return BST_INSERT(T->rchild,k);
}// 非递归插入新结点到二叉排序树
bool InsertBST(BSTree *T, int key) {// 创建新结点BSTNode *newNode = (BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode));if (newNode == NULL) {return false; // 内存分配失败}newNode->key = key;newNode->lchild = newNode->rchild = NULL;// 如果树为空，新结点作为根结点if (*T == NULL) {*T = newNode;return true;}BSTNode *current = *T;BSTNode *parent = NULL;// 寻找插入位置while (current != NULL) {parent = current;if (key == current->key) {free(newNode); // 键值已存在，释放新结点return false;  // 插入失败} else if (key < current->key) {current = current->lchild; // 在左子树中查找} else {current = current->rchild; // 在右子树中查找}}// 插入新结点if (key < parent->key) {parent->lchild = newNode;} else {parent->rchild = newNode;}return true;
}

• 递归方式最坏空间复杂度O(h),h为树的高度
• 非递归方式空间复杂度为O(1)

3.使用过程

• 插入关键字为12的结点

1. 那么从根节点出发,12比19更小,那显然应该插入到左子树
   
2. 接下来12小于13,所以还应该插入到它的左子树当中
   
3. 那现在12大于11,所以应该插入到当前节点的右子树当中
   
4. 如果二叉树中已经有关键字为12的元素,则插入失败

新插入的结点一定是叶子节点

四.二叉排序树的构造

1.思路

• 就是不断插入新结点的过程

2.代码

//按照 str[]中的关键字序列建立二叉排序树
void Creat_BST(BST&T, int str[], int n){T=NULL;	//初始时T为空树int i=0;while(i<n){//依次将每个关键字插入到二叉排序树中BST Insert(T,str[i]);i++;}
}

3.使用过程

• 例1: 按照序列str={50,66,60,26,21,30,70,68}建立BST

1. 首先插入的是50
   
2. 接下来66>50,插入到右孩子
   
3. 60<60应该插在66的左边
   
4. 然后是26<50,插在50的左孩子
   
5. 接下来操作一样,最终结果如下:
   

• 例2：按照序列str={50，26，21，30，66，60，70，68}建立BST
• 也是一样的,这里就不展示过程了,直接看结果

不同的关键字序列可能得到同款二叉排序树

五.二叉排序树的删除

1.思路

• 先搜索找到目标结点：
  ①若被删除结点z是叶结点，则直接删除，不会破坏二叉排序树的性质。
  
  
  ②若结点z只有一棵左子树或右子树，则让z的子树成为z父结点的子树，替代z的位置。
  
  
  ③若结点z有左、右两棵子树，
  1. 第一种方案(直接后继代替法)我们可以从当前删除的节点,它的右子树当中找到值最小的节点(右子树中中序遍历的第一个结点,在树上面看就时左子树中最左下的那个节点),用那个节点来替代当前被删除的节点
  2. 由于p所指向的结点一定是最左下的结点,因此其一定没有左子树,这样就转换成了我们之前的第二/一种情况
     
     
  3. 第二种方案(直接前驱替代法),找到当前节点它的左子树当中最大的那个值(左子树中最右下的结点),用左子树当中最大的值来替代当前被删除的节点.和之前类似的,p所指向的结点一定没有右子树,则可以转换为之前的第一/二种情况
     

六.查找效率分析

1.查找成功

1.计算平均查找长度(ASL)

• $ASL=(1\ast 1+2\ast 2+3\ast 4+4\ast 1)/8=2.625$
  
• $ASL=(1\ast 1+2\ast 2+3\ast 1+4\ast 1+5\ast 1+6\ast 1+7\ast 1)/8=3.75$

2.查找的时间复杂度

• 最好情况：n个结点的二叉树最小高度为$\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$。平均查找长度=$O(lo{g}_{2}n)$
• 最坏情况：每个结点只有一个分支，树高h=结点数n。平均查找长度=O(n)

2.查找失败

1.计算平均查找长度(ASL)

• $ASL=(3\ast 7+4\ast 2)/9=3.22$

• $ASL=(2\ast 3+3+4+5+6+7\ast 2)/9=4.22$

七.知识回顾与重要考点

结语

二更😉

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