二分查找算法介绍及使用
目录
1. 什么是二分查找
2. 二分查找的逻辑
什么是二分查找的 “二段性”？
3. 例题讲解演示
3.1 LeetCode704. 二分查找
3.2 LeetCode852. 山脉数组的峰顶索引
3.3 LeetCode69. x 的平方根
3.4 LeetCode34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
今天我们来聊一聊二分查找算法。
1. 什么是二分查找
分查找（Binary Search）是一种针对有序集合的高效查找算法，核心思想是通过不断将查找范围减半来快速定位目标元素。其前提是集合必须按某种规则排序，每次通过比较中间元素与目标值的大小，缩小查找范围，直到找到目标或范围为空。
时间复杂度为 O(log n)（n 为集合长度），远优于线性查找的 O (n)，适用于静态有序数据的快速查询。
二分查找的效率很高，因为他每次都可以直接排除掉一半的数据。
2. 二分查找的逻辑
二分查找的本质就是通过找到数组的二段性，然后每次筛选一半的方式来快速查找。
我们要了解二分查找的逻辑，那么我们就先要了解什么是二段性。
什么是二分查找的 “二段性”？
“二段性” 是二分查找的核心本质，指待查找的集合可以被某个条件划分为 “满足条件” 和 “不满足条件” 的两个连续区间，且这两个区间具有明确的边界。
简单来说：
- 整个集合被分为两部分，前半部分（或左半部分）全部满足某个条件，后半部分（或右半部分）全部不满足（反之亦然）。
- 二分查找的过程，本质上是通过不断判断中间元素属于哪一段，来缩小范围，最终找到两段的边界（或目标元素）。
给各位句几个简单的例子，我们看下面这个图，如果我们要查找的是3，那么它的二段性就是大于3的数和小于3的数。我们通过不断筛选，最后找到3。
我们看下面这个图，那么我们该如何找到这组数里面最大的。如果只知道二分查找可以使用到有序数组的话，我们在下面这个图里面是想不到使用二分查找的。那么我们该怎么使用二分查找呢，或者说二段性该如何理解呢？很简单，它的二段性就是上升期的数和下降期的数。这样我们就可以找到里面最大的。
3. 例题讲解演示
接下来我们通过讲解几道例题的方式来帮助大家理解二分查找。
3.1 LeetCode704. 二分查找
我们看下面这个图片，这个的话就是很普通的二分查找例题。就是要求我们从一个有序的数组里面找到要求的数字，如果那个数字不在数组里面的话，那就返回-1。
它的二段性就是比它大的值和比它小的值。
我们看下面的代码，就是先设置一个l和一个r，分别指向数组的最左边和最右边，接着再根据l+（r-l）/2计算出mid，也就是中间位置的下标。接着我们拿这个位置的下标对应的值去和目标值作比较，如果相等就直接结束，否则就把l或者r更新为mid。
这个while循环里面的条件很好理解，如果l>r了那么就说明没有找到，所以直接返回-1。
class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int t) {int sz=nums.size();int l=0;int r=sz-1;while(l<=r){int mid=l+(r-l)/2;if(nums[mid]>t)r=mid-1;else if(nums[mid]<t)l=mid+1;else{return mid;}}return ;}
};3.2 LeetCode852. 山脉数组的峰顶索引
我们接着看下面这一道题，这道题就是我上面说的那种找最大值。
它的二段性就是上升期的数和下降期的数。
我们看下面这个代码，其实很多地方也是差不多的，唯一的区别就是把两个条件判断给修改一下。
因为要判断是上升期的数还是下降期的数，所以我们要和和周围的数去比较。
class Solution {
public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {int sz=arr.size();int l=0;int r=sz-1;while(l<r){int m=l+(r-l+1)/2;if(arr[m-1]<arr[m])l=m;else if(arr[m-1]>arr[m])r=m-1;}return r;}
};3.3 LeetCode69. x 的平方根
我们来看下面这道题，这道题同样也可以使用二分查找算法。题目意思很简单，要求我们找出一个数的算术平方根。
它的二段性就是和自己相乘后比x要大的数和比x要小的数。
因为算术平方根就是一个数开根号后的结果，所以我们这边直接通过设立边界，然后查找哪个数的值和自己相乘的结果等于x。
如果没有拿到我们想要的也没有事，因为当l>r时的那个值就是去除小数后的结果。
class Solution {
public:int mySqrt(int x) {int l=0;int r=x;if(x<2)return x;while(l<=r){long long mid=l+(r-l)/2;if(mid*mid>x)r=mid-1;else if(mid*mid<x)l=mid+1;elsereturn mid;}return r;}
};3.4 LeetCode34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
这道题的目的是让各位了解到二分查找使用上的广泛性。
这道题稍微有一点难，题目意思就是说给一个值，然后要求我们找到数组里面这个数出现的起始位置和结尾位置。如果数组里面没有这个数的话就直接返回[-1,-1]。
这道题的二段性比较特殊，放在下面的代码解析那里说。
这道题我们可以理解为使用两次二段性，首先我们通过二段性查找t值在数组中的起始位置，也就是左边界，二段性为左边全是比要求小的值，右边为等于或大于要求的值。接着我们查找结尾位置，也就是右边界，二段性为右边全是比要求大的值，右边为等于或小于要求的值。这样我们就找到了左右边界，这样我们就做完了这道题。
class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int t) {int sz=nums.size();int l=0;int r=sz-1;int begin=0;int end=0;if(sz==0)return {-1,-1};//找左while(l<r){int m=l+(r-l)/2;if(nums[m]>=t)r=m;else if(nums[m]<t)l=m+1;}if(nums[l]!=t)return {-1,-1};elsebegin=l;//找右l=0;r=sz-1;while(l<r){int m=l+(r-l+1)/2;if(nums[m]>t)r=m-1;else if(nums[m]<=t)l=m;}end=r;return {begin,end};}
};