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摩尔投票法：高效寻找数组中的多数元素

问题描述

给定一个大小为 n 的数组 nums，返回其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数大于 ⌊n/2⌋ 的元素。你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。

示例：

输入：[2,2,1,1,1,2,2]
输出：2

摩尔投票法解析

算法思想

摩尔投票法(Boyer-Moore Voting Algorithm)是一种用于在序列中查找出现次数超过一半的元素的高效算法。其核心思想是**“正负抵消”**：

1. 维护一个候选元素x和一个计数器votes
2. 遍历数组，当votes为0时，选择当前数字作为候选
3. 遇到相同的数字，votes加1；遇到不同的数字，votes减1
4. 最终剩下的候选x就是多数元素

代码实现

class Solution {public int majorityElement(int[] nums) {int x = 0, votes = 0;for (int num : nums) {if (votes == 0) x = num;  // 当票数为0时，选择当前数字为候选votes += (num == x) ? 1 : -1;  // 相同则加1，不同则减1}return x;}
}

执行过程示例

以输入[2,2,1,1,1,2,2]为例：

当前数字	候选x	votes变化	解释
2	2	0→1	初始化候选为2，votes+1
2	2	1→2	相同数字，votes+1
1	2	2→1	不同数字，votes-1
1	2	1→0	不同数字，votes-1
1	1	0→1	votes=0，更新候选为1
2	1	1→0	不同数字，votes-1
2	2	0→1	votes=0，更新候选为2

最终返回候选x=2

算法正确性证明

摩尔投票法的正确性基于以下数学原理：

1. 多数元素存在性：题目保证存在出现次数>n/2的元素
2. 抵消原理：
   • 多数元素与其他元素一一抵消后，必定还有剩余
   • 因为多数元素数量 > n/2，其他元素总数 < n/2
3. 最终候选不变性：
   • 即使中间过程候选变化，最终正确的多数元素会"胜出"

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)
  • 只需一次线性扫描数组
• 空间复杂度：O(1)
  • 只使用了常数级别的额外空间（x和votes变量）

与其他方法的对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	特点
哈希表统计法	O(n)	O(n)	直观但需要额外空间
排序法	O(nlogn)	O(1)或O(n)	排序后取中间元素
摩尔投票法	O(n)	O(1)	最优解，空间效率最高

算法变种与应用

1. 扩展版摩尔投票（求出现次数>n/k的元素）

可以扩展摩尔投票法来查找所有出现次数超过n/k的元素，需要维护k-1个候选和计数器

2. 实际应用场景

• 大数据处理中的频繁项挖掘
• 选举系统快速统计
• 数据流中的主要元素检测
• 系统日志分析中的高频错误识别

边界情况处理

虽然题目保证多数元素存在，但在实际应用中可能需要考虑：

1. 无多数元素情况：

   // 可添加验证步骤
   int count = 0;
   for (int num : nums) if (num == x) count++;
   return count > nums.length / 2 ? x : -1; // -1表示无多数元素
   

2. 空数组处理：

   if (nums.length == 0) throw new IllegalArgumentException();
   

代码优化技巧

1. 减少比较操作：

   votes += (num == x) ? 1 : -1;
   // 可以改为
   if (num == x) votes++;
   else votes--;
   

   性能差异不大，取决于JVM优化

2. 并行化处理：
   对于超大数组，可以考虑分块并行计算，最后合并结果

总结

摩尔投票法是一种优雅且高效的算法，用于解决多数元素问题。其主要优势在于：

1. 线性时间复杂度：只需遍历数组一次
2. 常数空间复杂度：不需要额外存储空间
3. 算法简单：实现简洁，易于理解和记忆

理解并掌握这一算法不仅有助于解决类似的编程面试题，也能培养对高效算法的敏感度，为解决更复杂的计算问题奠定基础。