12.1 正整数平方根求法

根号2求法

  我们时常在短视频里刷到根号2的连分数求法。也就是下面的迭代公式：
$$\begin{gathered} x=\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots }}}} \\ \sqrt{2}=1+x \end{gathered}$$
我们先用代码迭代一下试试：

package cn.edu.ncepu;/*** 求根号2* 2025-11-11** @author 醒过来摸鱼*/
public class Main {public static void main(String[] args) {double x = 1;double nextX = 0;while (x != nextX) {x = nextX;nextX = 1/(2+x);}x = 1+x;System.out.println(x);System.out.println(x==Math.sqrt(2d));}
}

  结果是：

1.4142135623730951
true

迭代原理

  连分数迭代法的原理是什么？假设求$\sqrt{y}$,小于$\sqrt{y}$的最大整数为$a$,$\sqrt{y}$的小数部分是$x=\sqrt{y}-a$，那么就有：
$$\begin{gathered} \sqrt{y}-a=x \\ (\sqrt{y}-a)(\sqrt{y}+a)=y-a^2 \\ (x+2a)x=y-a^2 \\ x=\frac{y-a^2}{2a+x} \end{gathered}$$
这样小数部分的迭代公式就出来了：
$$x=\frac{y-a^2}{2a+\frac{y-a^2}{2a+\frac{y-a^2}{2a+\frac{y-a^2}{2a+\cdots }}}}$$
我们用这个求一下任意正整数的平方根试试：

/*** 求根号2* 2025-11-11** @author 醒过来摸鱼*/
public class Sqrt {public static void main(String[] args) {double x = sqrt(14);System.out.println(x);System.out.println(x == Math.sqrt(14));}public static double sqrt(int y) {if (y < 1) {throw new IllegalArgumentException("请输入正整数");}int a = getA(y);int numerator = y - a * a;double x = 1d;while (true) {double newX = numerator / (2 * a + x);if (Math.abs(newX - x) < 1e-15) {break;}x = newX;}return a + x;}private static int getA(int y) {int i = 0;while (i * i < y) {i++;}return i - 1;}
}

 emsp;虽然算出来与API算出来的$\sqrt{14}$有误差，但是也可以接受：

3.7416573867739418
false

  当然，本文的目的不是为了单纯计算正整数的平方根，而是为了引出高次方差的数值解法。