P3803 【模板】多项式乘法（FFT）

题目描述

给定一个 $n$ 次多项式 $F(x)$，和一个 $m$ 次多项式 $G(x)$。

请求出 $F(x)$ 和 $G(x)$ 的乘积。

输入格式

第一行两个整数 $n,m$。

接下来一行 $n+1$ 个数字，从低到高表示 $F(x)$ 的系数。

接下来一行 $m+1$ 个数字，从低到高表示 $G(x)$ 的系数。

输出格式

一行 $n+m+1$ 个数字，从低到高表示 $F(x)\cdot G(x)$ 的系数。

输入输出样例 #1

输入 #1

1 2
1 2
1 2 1

输出 #1

1 4 5 2

说明/提示

保证输入中的系数大于等于 $0$ 且小于等于 $9$。

对于 $100\%$ 的数据：$1\le n,m\le {10}^6$。

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思路

一、引言

快速傅立叶变换（FFT, Fast Fourier Transform）是一种高效计算离散傅立叶变换（DFT）的方法。
在多项式乘法、卷积、信号处理等领域中都有广泛应用。

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二、DFT 定义

设多项式：

$$A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}$$

定义其离散傅立叶变换（DFT）为：

$$A_k=\sum _{j=0}^{n-1}{a}_j\cdot {\omega }_n^{jk},k=0,1,2,\dots ,n-1$$

其中：

$${\omega }_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$$

为 $n$ 次单位根。

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三、逆变换 (IDFT)

由 DFT 的性质可以推出逆变换：

$$a_j=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{A}_k\cdot {\omega }_n^{-jk}$$

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四、核心思想：偶奇项分治

1. 偶奇项拆分

将 ($A(x)$) 拆分为偶项与奇项：

$$A(x)=A_0(x^2)+x{A}_1(x^2)$$

其中：

$$A_0(x)=a_0+a_{2}x+a_4{x}^2+\cdots$$

$$A_1(x)=a_1+a_{3}x+a_5{x}^2+\cdots$$

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2. 在单位根处取值

令 (${\omega }_n=e^{2\pi i/n}$)，计算在单位根处的取值：

$$A({\omega }_n^k)=A_0({\omega }_n^{2k})+{\omega }_n^k{A}_1({\omega }_n^{2k})$$

注意到：

$${\omega }_n^{2k}={\omega }_{n/2}^k$$

因此：

$$A({\omega }_n^k)=A_0({\omega }_{n/2}^k)+{\omega }_n^k{A}_1({\omega }_{n/2}^k)$$

同理可得：

$$A({\omega }_n^{k+n/2})=A_0({\omega }_{n/2}^k)-{\omega }_n^k{A}_1({\omega }_{n/2}^k)$$

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3. 分治递归结构

由上式我们可以看到，长度为 $n$ 的 DFT 可拆为两个长度为 $n/2$ 的 DFT：

$$\{\begin{array}{l}{A}_k=E_k+{\omega }_n^k{O}_k,[8pt]A_{k+n/2}=E_k-{\omega }_n^k{O}_k,\end{array}$$

其中 ($E_k$)、($O_k$) 分别表示偶数项与奇数项的 DFT 结果。

递推式的时间复杂度为：

$$T(n)=2T(n/2)+O(n)=O(n\log n)$$

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五、FFT 迭代实现

为了避免递归带来的额外开销，我们将其转化为迭代形式。

1. 位反转重排（Bit-reversal Permutation）

先将输入序列的下标按二进制反转排列。

例如 (n = 8) 时：

原下标	二进制	反转	新下标
0	000	000	0
1	001	100	4
2	010	010	2
3	011	110	6
4	100	001	1
5	101	101	5
6	110	011	3
7	111	111	7

这样在蝶形运算时每一层数据都能正确对应。

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2. 蝶形合并（Butterfly Operation）

每一层合并时，计算如下：

$$\{\begin{array}{l}{A}_k^{\prime }=A_k+w\cdot A_{k+len/2},[8pt]A_{k+len/2}^{\prime }=A_k-w\cdot A_{k+len/2},\end{array}$$

其中 ($w=e^{2\pi i/len}$) 为旋转因子（逆变换时取共轭）。

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3. 算法流程总结

1. 确定长度：取最小的 $n=2^k$ 使 $n\ge n_A+n_B$。
2. 补零：将两个多项式系数扩展到长度 $n$。
3. FFT 变换：分别对 $A,B$ 做 FFT 得到点值形式。
4. 点乘：对每个位置 $i$ 计算 $A[i]\times B[i]$。
5. 逆 FFT：将乘积结果转回系数形式。
6. 取整输出：四舍五入得到最终整数系数。

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六、逆 FFT

逆 FFT 只需两步：

1. 将旋转角度取负（即使用共轭单位根）；
2. 每个结果除以 (n)。

$$a_j=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{A}_k{\omega }_n^{-jk}$$

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七、复杂度分析

FFT 的递归关系为：

$$T(n)=2T(n/2)+O(n)$$

解得：

$$T(n)=O(n\log n)$$

相比朴素的 $O(n^2)$ 乘法，性能大幅提升。

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八、FFT 多项式乘法完整示意

1. 读入多项式系数；
2. 扩展长度到 2 的幂；
3. 分别做 FFT；
4. 点值乘法；
5. 逆 FFT；
6. 输出系数。

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九、总结

FFT 的核心思想是：

• 通过偶奇拆分降低复杂度；
• 通过单位根性质把指数分解；
• 通过bit-reversal + 蝶形合并实现高效迭代。

最终实现了从 ($O(n^2)$) 到 ($O(n\log n)$) 的突破。

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题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4e6;
const double PI=acos(-1);struct cpx{double x, y;cpx operator+(const cpx& t)const{return {x+t.x, y+t.y};}cpx operator-(const cpx& t)const{return {x-t.x, y-t.y};}cpx operator*(const cpx& t)const{return {x*t.x-y*t.y, x*t.y+y*t.x};}
}A[N], B[N];
int R[N];void FFT(cpx A[],int n,int op){for(int i=0; i<n; ++i)R[i] = R[i/2]/2 + ((i&1)?n/2:0);for(int i=0; i<n; ++i)if(i<R[i]) swap(A[i],A[R[i]]);  for(int i=2; i<=n; i<<=1){cpx w1({cos(2*PI/i),sin(2*PI/i)*op});for(int j=0; j<n; j+=i){cpx wk({1,0});for(int k=j; k<j+i/2; ++k){cpx x=A[k], y=A[k+i/2]*wk;A[k]=x+y; A[k+i/2]=x-y; wk=wk*w1;}}}
}
void solve(){int n,m;  cin>>n>>m;for(int i=0; i<=n; i++)cin>>A[i].x;for(int i=0; i<=m; i++)cin>>B[i].x;for(m=n+m,n=1;n<=m;n<<=1);FFT(A,n,1); FFT(B,n,1);for(int i=0;i<n;++i)A[i]=A[i]*B[i];FFT(A,n,-1);for(int i=0;i<=m;++i){int res = (A[i].x/n+0.5);cout<<res<<' ';}cout<<endl;
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int t=1;// cin>>t;while(t--){solve();}return 0;
}