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C++ 高精度计算：突破数据类型限制的实现与应用

news 2025/11/12 16:10:38

在 C++ 中，基本数据类型（如int、long long）的取值范围是有限的（例如long long最大只能表示约 9e18 的整数）。当需要处理远超这一范围的大整数（如数百位甚至数千位的数字）时，就需要借助高精度计算技术。本文将详细解析高精度计算的核心思想，实现高精度整数的加减乘除运算，并探讨其实际应用场景。

一、高精度计算的核心思想

高精度计算的本质是用数组或字符串模拟大整数的存储与运算过程，还原手工计算的逻辑。其核心要点包括：

数据存储：
- 通常用数组存储大整数的每一位（如vector<int> num）
- 为方便计算，低位在前、高位在后（例如123存储为[3,2,1]）
运算模拟：
- 模拟手工计算的步骤（如加法中的进位、乘法中的错位相加）
- 通过循环处理每一位，用变量记录进位或借位
输入输出处理：
- 输入时从字符串转换为数组（注意反转顺序）
- 输出时从数组高位到低位依次打印

二、高精度加法

2.1 算法原理

两个大整数相加，从最低位开始逐位相加，同时处理进位：

每一位的和 = 两数对应位的值 + 进位
当前位结果 = 和 % 10
新的进位 = 和 / 10
最后若仍有进位，需添加到结果的最高位

2.2 代码实现

cpp

运行

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;// 高精度加法：返回 a + b 的结果
vector<int> add(vector<int>& a, vector<int>& b) {vector<int> res;int carry = 0;  // 进位int i = 0;// 处理所有位（包括进位）while (i < a.size() || i < b.size() || carry > 0) {int sum = carry;if (i < a.size()) sum += a[i];if (i < b.size()) sum += b[i];res.push_back(sum % 10);  // 当前位结果carry = sum / 10;         // 更新进位i++;}return res;
}// 辅助函数：字符串转高精度数组（低位在前）
vector<int> str_to_big(string s) {vector<int> res;for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {res.push_back(s[i] - '0');}return res;
}// 辅助函数：高精度数组转字符串（高位在前）
string big_to_str(vector<int>& num) {string res;// 跳过前导0（如果有的话）int i = num.size() - 1;while (i >= 0 && num[i] == 0) i--;// 转换有效数字while (i >= 0) {res += (char)(num[i] + '0');i--;}return res.empty() ? "0" : res;  // 处理全0的情况
}int main() {string s1, s2;cin >> s1 >> s2;vector<int> a = str_to_big(s1);vector<int> b = str_to_big(s2);vector<int> c = add(a, b);cout << big_to_str(c) << endl;  // 输出结果return 0;
}

2.3 测试案例

plaintext

输入：99999999999999999999 1
输出：100000000000000000000

三、高精度减法

3.1 算法原理

两个大整数相减（假设a >= b），从最低位开始逐位相减，处理借位：

每一位的差 = 被减数对应位 - 减数对应位 - 借位
若差为负，需借位（差 += 10，借位 = 1）
否则借位 = 0
最后需去除结果中的前导 0

3.2 代码实现

cpp

运行

// 判断 a 是否大于等于 b
bool geq(vector<int>& a, vector<int>& b) {if (a.size() != b.size()) {return a.size() > b.size();}// 从高位到低位比较for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) {if (a[i] != b[i]) {return a[i] > b[i];}}return true;  // 相等
}// 高精度减法：返回 a - b 的结果（需保证 a >= b）
vector<int> sub(vector<int>& a, vector<int>& b) {vector<int> res;int borrow = 0;  // 借位int i = 0;while (i < a.size() || i < b.size()) {int diff = a[i] - borrow;if (i < b.size()) diff -= b[i];if (diff < 0) {diff += 10;borrow = 1;} else {borrow = 0;}res.push_back(diff);i++;}// 去除末尾的0（前导0，因低位在前存储）while (res.size() > 1 && res.back() == 0) {res.pop_back();}return res;
}// 主函数中使用时需先判断大小：
// if (geq(a, b)) {
//     cout << big_to_str(sub(a, b)) << endl;
// } else {
//     cout << "-" << big_to_str(sub(b, a)) << endl;
// }

3.3 测试案例

plaintext

输入：100000000000000000000 1
输出：99999999999999999999

四、高精度乘法（大整数 × 小整数）

4.1 算法原理

大整数与小整数（int范围内）相乘：

从最低位开始，每一位与小整数相乘
乘积 = 当前位值 × 小整数 + 进位
当前位结果 = 乘积 % 10
新的进位 = 乘积 / 10
最后处理剩余进位

4.2 代码实现

cpp

运行

// 高精度乘法：返回 a × b 的结果（b 是小整数）
vector<int> mul_big_small(vector<int>& a, int b) {vector<int> res;int carry = 0;int i = 0;while (i < a.size() || carry > 0) {long long product = (long long)carry;  // 用long long避免溢出if (i < a.size()) product += (long long)a[i] * b;res.push_back(product % 10);carry = product / 10;i++;}// 去除前导0while (res.size() > 1 && res.back() == 0) {res.pop_back();}return res;
}

4.3 测试案例

plaintext

输入：99999999999999999999 2
输出：199999999999999999998

五、高精度乘法（大整数 × 大整数）

5.1 算法原理

两个大整数相乘，模拟手工乘法的错位相加：

设a的长度为n，b的长度为m，则结果最大长度为n + m
a[i] × b[j]的结果应存放在res[i + j]的位置
先计算所有位的乘积和，再统一处理进位

5.2 代码实现

cpp

运行

// 高精度乘法：返回 a × b 的结果（均为大整数）
vector<int> mul_big_big(vector<int>& a, vector<int>& b) {int n = a.size(), m = b.size();vector<int> res(n + m, 0);  // 初始化为0// 计算所有位的乘积for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {res[i + j] += a[i] * b[j];  // 累加乘积到对应位置}}// 处理进位int carry = 0;for (int i = 0; i < res.size(); i++) {int total = res[i] + carry;res[i] = total % 10;carry = total / 10;}// 去除前导0while (res.size() > 1 && res.back() == 0) {res.pop_back();}return res;
}

5.3 测试案例

plaintext

输入：123456789 987654321
输出：121932631112635269

六、高精度除法（大整数 ÷ 小整数）

6.1 算法原理

大整数除以小整数（int范围内），模拟手工除法：

从最高位开始，逐位与除数相除
每一步的被除数 = 上一步的余数 × 10 + 当前位
当前位商 = 被除数 / 除数
新的余数 = 被除数 % 除数
最后返回商和余数

6.2 代码实现

cpp

运行

// 高精度除法：返回商，余数通过引用传出（a ÷ b）
vector<int> div_big_small(vector<int>& a, int b, int& remainder) {vector<int> quotient;remainder = 0;// 从高位到低位计算（因存储是低位在前，需反向遍历）for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) {long long dividend = (long long)remainder * 10 + a[i];quotient.push_back(dividend / b);remainder = dividend % b;}// 反转商（因计算时是从高位到低位，存储需转为低位在前）reverse(quotient.begin(), quotient.end());// 去除前导0while (quotient.size() > 1 && quotient.back() == 0) {quotient.pop_back();}return quotient;
}

6.3 测试案例

plaintext

输入：123456789 3
输出：41152263（商），0（余数）

七、高精度计算的优化与扩展

7.1 存储优化：压缩存储

上述实现中每个数组元素只存 1 位数字，空间利用率低。可优化为每元素存储多位数字（如 4 位，对应 0~9999），减少数组长度和循环次数：

cpp

运行

// 示例：每元素存储4位数字，123456789 存储为 [6789, 2345, 1]
vector<int> str_to_big_compressed(string s) {vector<int> res;int n = s.size();for (int i = n - 1; i >= 0; i -= 4) {int val = 0;int start = max(0, i - 3);  // 处理不足4位的情况for (int j = start; j <= i; j++) {val = val * 10 + (s[j] - '0');}res.push_back(val);}return res;
}