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news 2025/11/12 16:03:00

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快速幂算法讲解

快速幂算法是一种高效计算幂运算的算法，其核心思想是利用指数的二进制分解，把幂运算的时间复杂度从 O(p) 降低到 O(logp)。

原理

假设要计算 an，将 n 表示成二进制形式：n=2k1+2k2+⋯+2km，那么 an=a2k1+2k2+⋯+2km=a2k1×a2k2×⋯×a2km。

例如，计算 ${3^{13}}$ ，13 的二进制是 1101，即 13= $2^{3}$ + $2^{2}$ + $2^{0}$ ，那么 $3^{13}$ = $2^{3}$ × $2^{2}$ × $2^{0}$ 。

代码

#include <iostream>
using namespace std;long long fast_pow(long long a, long long b, long long k) {long long result = 1;while (b > 0) {if (b % 2 == 1) {result = (result * a) % k;}a = (a * a) % k;b /= 2;}return result;
}int main() {long long b, p, k;cin >> b >> p >> k;cout << fast_pow(b, p, k) << endl;return 0;
}

我们以计算 (3 ^ 13) % 10 为例，对修正后的 C++ 代码进行一步一步的分析。

分析过程

初始化

在 fast_pow 函数开始时，有如下初始化操作：

a = 3（底数）
b = 13（指数）
k = 10（模数）
result = 1

第一次循环

判断 b 是否为奇数：b = 13，13 % 2 == 1，满足条件。所以执行 result = (result * a) % k，即 result = (1 * 3) % 10 = 3。
更新 a：a = (a * a) % k，也就是 a = (3 * 3) % 10 = 9。
更新 b：b /= 2，b 变为 6。

此时各变量的值为：

a = 9
b = 6
k = 10
result = 3

第二次循环

判断 b 是否为奇数：b = 6，6 % 2 == 0，不满足条件，不更新 result。
更新 a：a = (a * a) % k，即 a = (9 * 9) % 10 = 81 % 10 = 1。
更新 b：b /= 2，b 变为 3。

此时各变量的值为：

a = 1
b = 3
k = 10
result = 3

第三次循环

判断 b 是否为奇数：b = 3，3 % 2 == 1，满足条件。执行 result = (result * a) % k，即 result = (3 * 1) % 10 = 3。
更新 a：a = (a * a) % k，也就是 a = (1 * 1) % 10 = 1。
更新 b：b /= 2，b 变为 1。

此时各变量的值为：

a = 1
b = 1
k = 10
result = 3

第四次循环

判断 b 是否为奇数：b = 1，1 % 2 == 1，满足条件。执行 result = (result * a) % k，即 result = (3 * 1) % 10 = 3。
更新 a：a = (a * a) % k，也就是 a = (1 * 1) % 10 = 1。
更新 b：b /= 2，b 变为 0。