线代强化NO5|矩阵的运算法则|分块矩阵|逆矩阵|伴随矩阵|初等矩阵

矩阵的运算法则

1. 加法与数乘
   $$A+B=B+A$$
   $$(A+B)+C=A+(B+C)$$
   $$k(lA)=(kl)A$$$$k(A+B)=kA+kB$$
   $$(k+l)A=kA+lA$$
2. 转置
   $$(A+B{)}^{\text{T}}=A^{\text{T}}+B^{\text{T}}$$
   $$(kA{)}^{\text{T}}=k{A}^{\text{T}}$$
   $$(AB{)}^{\text{T}}=B^{\text{T}}{A}^{\text{T}}$$
3. 乘法
   $$(AB)C=A(BC),C(A+B)=CA+CB,(A+B)C=AC+BC,$$ $$(kA)B=A(kB)=k(AB)。$$ $$AB\ne BA;$$ $$AB=0\nRightarrow A=0或B=0;AB=AC,A\ne 0\nRightarrow B=C。$$ $$A^n{A}^m=A^{m+n},(A^m{)}^n=A^{mn}。$$

重要矩阵

分块矩阵

大多数情况下，我们只需要掌握分成4块的分块矩阵就可以了，即如下形式的矩阵： $$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$$ 对分块矩阵也有相应的加法，数乘、转置等运算： $$\left[\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ C_1& D_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_1+A& B_1+B\\ C_1+C& D_1+D\end{array}\right];$$ $$k\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}kA& kB\\ kC& kD\end{array}\right];$$ $${\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{cc}{A}^T& C^T\\ B^T& D^T\end{array}\right];$$ $$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ C_1& D_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A{A}_1+B{C}_1& A{B}_1+B{D}_1\\ C{A}_1+D{C}_1& C{B}_1+D{D}_1\end{array}\right];$$ $$\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}C& 0\\ 0& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}AC& 0\\ 0& BD\end{array}\right];{\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{A}^n& 0\\ 0& B^n\end{array}\right]。$$
【注】一般来说，当行列式中有较多的零时，就可以考虑利用行列式的性质将零集中起来，组成分块矩阵再进行计算。
另一种常见的分块方式，是将矩阵 $A_{m\times n}$ 按行或列分块，也即写成 $$A=\left[\begin{array}{c}{\boxed{\beta }}_1\\ {\boxed{\beta }}_2\\ ⋮\\ {\boxed{\beta }}_m\end{array}\right]$$ 或 $A=[{\boxed{\alpha }}_1,{\boxed{\alpha }}_2,\cdots ,{\boxed{\alpha }}_n]$，其中 ${\boxed{\alpha }}_1,{\boxed{\alpha }}_2,\cdots ,{\boxed{\alpha }}_n$ 和 ${\boxed{\beta }}_1,{\boxed{\beta }}_2,\cdots ,{\boxed{\beta }}_m$ 分别代表矩阵 $A$ 的列向量和行向量。 这种情况下的加法、数乘和转置运算和前面类似，我们着重讲一下乘法： 设 $$A=[{\boxed{\alpha }}_1,{\boxed{\alpha }}_2,\cdots ,{\boxed{\alpha }}_n]$$，假设 $B=(b_{ij})$ 为 $n\times m$ 矩阵，则 $$BA=B[{\boxed{\alpha }}_1,{\boxed{\alpha }}_2,\cdots ,{\boxed{\alpha }}_n]=[B{\boxed{\alpha }}_1,B{\boxed{\alpha }}_2,\cdots ,B{\boxed{\alpha }}_n]$$ $$AB=[{\boxed{\alpha }}_1,{\boxed{\alpha }}_2,\cdots ,{\boxed{\alpha }}_n]\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1m}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2m}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nm}\end{array}\right]$$ $$=[b_{11}{\boxed{\alpha }}_1+b_{21}{\boxed{\alpha }}_2+\cdots +b_{n1}{\boxed{\alpha }}_n,b_{12}{\boxed{\alpha }}_1+b_{22}{\boxed{\alpha }}_2+\cdots +b_{n2}{\boxed{\alpha }}_n,\cdots ,b_{1m}{\boxed{\alpha }}_1+b_{2m}{\boxed{\alpha }}_2+\cdots +b_{nm}{\boxed{\alpha }}_n]$$ 矩阵 $A$ 按行分块时的运算法则类似。这种矩阵分块的方式我们在计算抽象矩阵行列式时已经用到过，可以用于矩阵的分解。

逆矩阵

1. 定义 对于$n$阶方阵$A$，如果存在一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=E$，则称矩阵$A$为可逆矩阵，并称矩阵$B$为矩阵$A$的逆矩阵，记作$B=A^{-1}$。
2. 性质
   1. 性质一：若$A$可逆，则$A$的逆矩阵是唯一的。
   2. 性质二：若$A$可逆，则$A^{-1},A^T$均可逆，且$$(A^{-1}{)}^{-1}=A,(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$$
   3. 性质三：若$A,B$为同阶可逆矩阵，则$AB$可逆，且$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$
   4. 推广：$$(A_1{A}_2\cdots A_m{)}^{-1}=A_m^{-1}{A}_{m-1}^{-1}\cdots A_1^{-1}$$$$(A^n{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^n$$
   5. 性质四：若$A$可逆，且$k\ne 0$，则$kA$可逆，且$$(kA{)}^{-1}=k^{-1}{A}^{-1}$$
   6. 性质五：若$A$可逆，则$|A||A^{-1}|=1$。
   7. 性质六：若$A,B$均可逆，则$\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}O& B\\ A& O\end{array}\right]$均可逆且${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right],$ ${\left[\begin{array}{cc}O& B\\ A& O\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}O& A^{-1}\\ B^{-1}& O\end{array}\right]$
3. 可逆的充要条件
   1. 定理1：设$A$为$n$阶方阵，则$A$可逆的充要条件为$|A|\ne 0$。
   2. 定理2：设$A$为$n$阶方阵，那么当$AB=E$或$BA=E$时，有$A^{-1}=B$。

伴随矩阵

1. 定义 设$A_{ij}$为$n$阶矩阵$A$的代数余子式，定义$$A^{\ast }=(A_{ji})=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$$为$A$的伴随矩阵。
2. 性质 设$A$为$n$阶方阵，$A^{\ast }$为它的伴随矩阵，则有$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$$

初等矩阵

1. 初等行（列）变换 我们对矩阵可以做如下三种初等行（列）变换：
   1. 交换矩阵的两行（列）；
   2. 将一个非零数$k$乘到矩阵的某一行（列）；
   3. 将矩阵的某一行（列）的$k$倍加到另一行（列）上。
2. 初等矩阵
   对单位矩阵只实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵。由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：
   1. 交换单位矩阵的第$i$行和第$j$行得到的初等矩阵记作$E_{ij}$，该矩阵也可以看做交换单位矩阵的第$i$列和第$j$列得到的；
   2. 将一个非零数$k$乘到单位矩阵的第$i$行得到的初等矩阵记作$E_i(k)$，该矩阵也可以看做将单位矩阵第$i$列乘以非零数$k$得到的；
   3. 将单位矩阵的第$j$行的$k$倍加到第$i$行上得到的初等矩阵记作$E_{ij}(k)$；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第$i$列的$k$倍加到第$j$列上得到的。
3. 矩阵的等价 如果矩阵$A$经过有限次初等变换之后可以变成$B$，则称矩阵$A,B$等价，记作$A\cong B$
4. 重要定理
   1. 定理1：对矩阵$A$左乘一个初等矩阵，相当于对$A$作相应的初等行变换；对矩阵$A$右乘一个初等矩阵，相当于对$A$作相应的初等列变换。
   2. 定理2：所有初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵均为同类的初等矩阵。具体来说，我们有$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$，$(E_i(k){)}^{-1}=E_i\left(\frac{1}{k}\right)$，$(E_{ij}(k){)}^{-1}=E_{ij}(-k)$。
   3. 定理3：矩阵$A$可逆的充要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵$P_1,P_2,\cdots ,P_m$，使得$A=P_1{P}_2\cdots P_m$。
   4. 定理4：矩阵$A$与矩阵$B$等价当且仅当存在可逆矩阵$P,Q$使得$PAQ=B$。
   5. 定理5：设$A$与$B$均是$m\times n$型矩阵，则$A\cong B\iff r(A)=r(B)$。
      

$$解:设\alpha =\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=(x_1{x}_2{x}_3{)}^T,则$$ $$\alpha {\alpha }^T=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)(x_1{x}_2{x}_3)=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1^2& x_1{x}_2& x_1{x}_3\\ x_2{x}_1& x_2^2& x_2{x}_3\\ x_3{x}_1& x_3{x}_2& x_3^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -1& 1& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$$ $${\alpha }^T\alpha =(x_1{x}_2{x}_3)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2=3$$
总结：
$${\alpha }^T\alpha =\text{tr}(\alpha {\alpha }^T)=3$$

$$解:法1:初等行变换$$ $$\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& |& 1& 0& 0\\ 1& 2& 0& |& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& |& 0& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& |& 1& 0& 0\\ 0& 2& 0& |& -1& 1& 0\\ 0& 0& 1& |& 0& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& |& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& |& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1& |& 0& 0& 1\end{array}\right)$$ $$法2:伴随矩阵法$$ $${\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)}^{-1}=\frac{{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)}^{\ast }}{\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right|}=\frac{\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 1\end{array}\right)}{2}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$ $$(A-2E{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

$$解:法1:伴随矩阵法$$ $${\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^{-1}=\frac{\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)}{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$$ $$原式=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$$ $$法2:初等行变换$$ $$\left(\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0& 1& |& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& |& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& |& 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0& |& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& |& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& |& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& |& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& |& 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

【小结】计算数值型矩阵逆矩阵的方法有三种

1. 利用伴随矩阵：公式$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$通常用于计算二阶矩阵的逆矩阵；
2. 利用初等行变换：设$A$为三阶或三阶以上的可逆矩阵，我们可以通过初等行变换来计算其逆矩阵. 对分块矩阵$(AE)$做初等行变换，将矩阵$A$化为$E$，此时的$E$就化为了$A^{-1}$，也即$$(AE)\stackrel{行}{⟶}(E{A}^{-1})$$，需要注意的是只能做行变换.
3. 用分块矩阵逆矩阵公式：若$A,B$均可逆，则$\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}O& B\\ A& O\end{array}\right]$均可逆且 $${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right],{\left[\begin{array}{cc}O& B\\ A& O\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}O& A^{-1}\\ B^{-1}& O\end{array}\right]$$. 往往用于计算四阶矩阵的逆矩阵。