插值——拉格朗日插值

插值任务简介

在科学计算、工程建模与数据处理中，我们常常面对如下问题：

已知某个未知函数 $f(x)$ 在若干离散点 {xi}i=0n\{x_i\}_{i=0}^n{xi​}i=0n​ 处的函数值 {yi=f(xi)}i=0n\{y_i = f(x_i)\}_{i=0}^n{yi​=f(xi​)}i=0n​，希望构造一个“简单”的函数 $P(x)$，使得
$$P(x_i)=y_i,i=0,1,\dots ,n$$
并用 $P(x)$ 来近似 $f(x)$ 在其他点的取值。

这一过程称为 插值（Interpolation），函数 $P(x)$ 称为 插值函数。

在众多插值方法中，拉格朗日插值是一种经典的全局多项式插值方法，它构造一个次数不超过 $n$ 的多项式，精确通过所有 $n+1$ 个给定数据点。本文将深入剖析其数学原理、构造过程与内在特性。

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插值目标函数

为便于演示，设定真实函数为：
$$f(x)=\sin x+\cos x,x\in [a,b]$$
在区间 $[a,b]$ 上取 $n+1$ 个互异节点 $x_0,x_1,\dots ,x_n$（通常等距），对应函数值为 $y_i=f(x_i)$。

目标：构造多项式 $P_n(x)$ 满足插值条件：
$$P_n(x_i)=y_i,i=0,1,\dots ,n$$

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拉格朗日插值原理（详细推导）

1. 问题的唯一性与存在性

定理（插值多项式存在唯一性）：
给定 $n+1$ 个互异节点 $x_0,x_1,\dots ,x_n$ 及对应的函数值 $y_0,y_1,\dots ,y_n$，存在唯一的次数不超过 $n$ 的多项式 $P_n(x)$ 满足：
$$P_n(x_i)=y_i,\forall i=0,1,\dots ,n$$

证明思路：
设 $P_n(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$，代入插值条件得线性方程组：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& x_0& x_0^2& \cdots & x_0^n\\ 1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$$

该系数矩阵为 范德蒙德矩阵（Vandermonde Matrix），其行列式为：
$$\det (V)=\prod _{0\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$
由于所有 $x_i$ 互异，$\det (V)\ne 0$，故方程组有唯一解。
因此，满足插值条件的 $n$ 次多项式存在且唯一。

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2. 拉格朗日基函数的构造思想

直接求解上述线性方程组计算量大。
拉格朗日方法：不直接求系数 $a_k$，而是构造一组特殊的基函数 {ℓk(x)}k=0n\{\ell_k(x)\}_{k=0}^n{ℓk​(x)}k=0n​，使得：

• 每个 ${\ell }_k(x)$ 是一个 $n$ 次多项式；
• ${\ell }_k(x_i)=\{\begin{array}{ll}1,& i=k\\ 0,& i\ne k\end{array}$（即“选择性”）

若能构造出这样的基函数，则插值多项式可直接写为：
$$P_n(x)=y_0{\ell }_0(x)+y_1{\ell }_1(x)+\cdots +y_n{\ell }_n(x)=\sum _{k=0}^n{y}_k{\ell }_k(x)$$
因为当 $x=x_i$ 时，只有 ${\ell }_i(x_i)=1$，其余为 0，故 $P_n(x_i)=y_i$，完美满足插值条件。

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3. 拉格朗日基函数的显式表达式

要构造满足 ${\ell }_k(x_i)={\delta }_{ik}$ 的 $n$ 次多项式，考虑：

• ${\ell }_k(x)$ 必须在所有 $x_j$（$j\ne k$）处为零 → 所以它必须包含因子 $(x-x_j)$ 对所有 $j\ne k$；
• 因此，${\ell }_k(x)$ 的分子应为：
  $$\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne k\end{array}}^n(x-x_j)$$
  这是一个 $n$ 次多项式，在 $x=x_j$（$j\ne k$）处为零；
• 但此时 ${\ell }_k(x_k)={\prod }_{j\ne k}(x_k-x_j)\ne 1$，需归一化；
• 除以该值，即可使 ${\ell }_k(x_k)=1$。

于是得到拉格朗日基函数的定义：

$${\ell }_k(x)=\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne k\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_k-x_j}\text{for }k=0,1,\dots ,n$$

性质总结：

• $\mathrm{deg}({\ell }_k)=n$
• ${\ell }_k(x_i)={\delta }_{ik}$
• ${\sum }_{k=0}^n{\ell }_k(x)\equiv 1$（因为若所有 $y_k=1$，则插值多项式恒为 1）

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4. 拉格朗日插值多项式

将基函数线性组合，得到最终的插值多项式：

$$P_n(x)=\sum _{k=0}^n{y}_k{\ell }_k(x)=\sum _{k=0}^n{y}_k\left(\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne k\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_k-x_j}\right)$$

此式即为 拉格朗日插值公式。它是对插值问题的一个显式解，无需解线性方程组。

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5. 插值余项（误差分析）

虽然 $P_n(x_i)=y_i$，但在非节点处存在误差。若 $f(x)$ 在包含所有节点的区间上具有 $n+1$ 阶连续导数，则对任意 $x\in [a,b]$，存在 $\xi$ 介于 $x$ 与节点之间，使得：

$$f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\cdot {\omega }_{n+1}(x)$$
其中
$${\omega }_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)$$

关键结论：

• 误差与 $f^{(n+1)}(\xi )$ 和节点多项式 ${\omega }_{n+1}(x)$ 有关；
• 当 $n$ 增大时，$(n+1)!$ 增长快，${\omega }_{n+1}(x)$ 在端点附近可能极大（尤其等距节点）。这便是龙格现象：高次插值在边界误差爆炸。

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6. 拉格朗日插值的优缺点

优点	缺点
显式表达式，无需解方程组	全局性：任一节点变动，所有 ${\ell }_k(x)$ 需重算
数学形式简洁优美	计算复杂度高：求值需 $O(n^2)$ 次运算
理论价值高，便于误差分析	数值不稳定：高次时舍入误差放大
适用于小规模精确插值	龙格现象：等距高次插值在端点振荡

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7. 改进方向：切比雪夫节点

为抑制龙格现象，可将插值节点从等距分布改为切比雪夫节点（Chebyshev Nodes）：

$$x_k=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\cos \left(\frac{(2k+1)\pi }{2(n+1)}\right),k=0,1,\dots ,n$$

这些节点在区间两端更密集，能最小化 $\max |{\omega }_{n+1}(x)|$，从而显著提升插值稳定性。

例如，对函数
$$f(x)=\frac{1}{1+25x^2}$$
在区间 $[-1,1]$ 上使用等距节点进行拉格朗日插值，当插值次数 $n\to \infty$ 时，插值多项式 $P_n(x)$ 在区间端点附近会出现发散现象，而不会一致收敛到 $f(x)$。

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Python 实现

以下代码支持拉格朗日插值，并可对比等距节点与切比雪夫节点的效果。

import os
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用黑体显示中文
matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = False    # 正常显示负号# ========== 配置参数 ==========
INTERVAL = (-5.0, 5.0)          # 插值区间 [a, b]
N = 12                          # 插值点数 = N + 1
C, D, E, F = 1.0, 1.0, 1.0, 1.0 # 目标函数参数
M = 1000                        # 测试点数量（用于误差和绘图）
RESULT_DIR = 输出目录# ========== 目标函数 ==========
def target_function(x):"""f(x) = c*sin(d*x) + e*cos(f*x)"""return C * np.sin(D * x) + E * np.cos(F * x)# ========== 拉格朗日插值函数 ==========
def lagrange_interp(x_nodes, y_nodes, x_query):"""在 x_nodes, y_nodes 上对 x_query 进行拉格朗日插值"""x_nodes = np.asarray(x_nodes)y_nodes = np.asarray(y_nodes)x_query = np.asarray(x_query)n = len(x_nodes)result = np.zeros_like(x_query, dtype=np.float64)for k in range(n):# 计算 ℓ_k(x)Lk = np.ones_like(x_query, dtype=np.float64)denom = 1.0for j in range(n):if j != k:Lk *= (x_query - x_nodes[j])denom *= (x_nodes[k] - x_nodes[j])result += y_nodes[k] * (Lk / denom)return result# ========== 切比雪夫节点生成函数 ==========
def chebyshev_nodes(a, b, n):"""生成 n+1 个切比雪夫节点"""k = np.arange(0, n + 1)return (a + b) / 2 + (b - a) / 2 * np.cos((2 * k + 1) * np.pi / (2 * (n + 1)))# ========== 主程序 ==========
def main():os.makedirs(RESULT_DIR, exist_ok=True)a, b = INTERVAL# 1. 构造插值节点（等距）x_eq = np.linspace(a, b, N + 1)y_eq = target_function(x_eq)# 2. 构造插值节点（切比雪夫）x_cheb = chebyshev_nodes(a, b, N)y_cheb = target_function(x_cheb)# 3. 生成测试点（用于绘图和误差）x_test = np.linspace(a, b, M)y_true = target_function(x_test)y_eq_interp = lagrange_interp(x_eq, y_eq, x_test)y_cheb_interp = lagrange_interp(x_cheb, y_cheb, x_test)# 4. 计算平均绝对误差mae_eq = np.mean(np.abs(y_eq_interp - y_true))mae_cheb = np.mean(np.abs(y_cheb_interp - y_true))print(f"等距节点拉格朗日插值的平均绝对误差 (MAE): {mae_eq:.6f}")print(f"切比雪夫节点拉格朗日插值的平均绝对误差 (MAE): {mae_cheb:.6f}")# 5. 绘图plt.figure(figsize=(12, 6))plt.plot(x_test, y_true, 'k-', linewidth=1.8, label=r'真实函数 $f(x) = \sin x + \cos x$')plt.plot(x_test, y_eq_interp, 'r--', linewidth=1.5, label=f'等距节点拉格朗日插值 (MAE={mae_eq:.4f})')plt.plot(x_test, y_cheb_interp, 'b-.', linewidth=1.5, label=f'切比雪夫节点拉格朗日插值 (MAE={mae_cheb:.4f})')plt.scatter(x_eq, y_eq, color='red', s=30, zorder=5, label='等距节点')plt.scatter(x_cheb, y_cheb, color='blue', s=30, zorder=5, label='切比雪夫节点')plt.grid(True, linestyle=':', alpha=0.7)plt.legend()plt.title(f'拉格朗日插值对比（节点数: {N+1}）')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.tight_layout()plot_path = os.path.join(RESULT_DIR, 'lagrange_comparison.png')plt.savefig(plot_path, dpi=300)print(f"结果图已保存至: {plot_path}")plt.show()if __name__ == '__main__':main()

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结果展示

等距节点拉格朗日插值的平均绝对误差 (MAE): 0.000057
切比雪夫节点拉格朗日插值的平均绝对误差 (MAE): 0.000020

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附：文章说明

本文仅为个人理解，若有不当之处，欢迎指正～