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P3128 [USACO15DEC] Max Flow P

题目描述

Farmer John 在他的谷仓中安装了 $N-1$ 条管道，用于在 $N$ 个牛棚之间运输牛奶（$2\le N\le 50,000$），牛棚方便地编号为 $1\dots N$。每条管道连接一对牛棚，所有牛棚通过这些管道相互连接。

FJ 正在 $K$ 对牛棚之间泵送牛奶（$1\le K\le 100,000$）。对于第 $i$ 对牛棚，你被告知两个牛棚 $s_i$ 和 $t_i$，这是牛奶以单位速率泵送的路径的端点。FJ 担心某些牛棚可能会因为过多的牛奶通过它们而不堪重负，因为一个牛棚可能会作为许多泵送路径的中转站。请帮助他确定通过任何一个牛棚的最大牛奶量。如果牛奶沿着从 $s_i$ 到 $t_i$ 的路径泵送，那么它将被计入端点牛棚 $s_i$ 和 $t_i$，以及它们之间路径上的所有牛棚。

输入格式

输入的第一行包含 $N$ 和 $K$。

接下来的 $N-1$ 行每行包含两个整数 $x$ 和 $y$（$x\ne y$），描述连接牛棚 $x$ 和 $y$ 的管道。

接下来的 $K$ 行每行包含两个整数 $s$ 和 $t$，描述牛奶泵送路径的端点牛棚。

输出格式

输出一个整数，表示通过谷仓中任何一个牛棚的最大牛奶量。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 10
3 4
1 5
4 2
5 4
5 4
5 4
3 5
4 3
4 3
1 3
3 5
5 4
1 5
3 4

输出 #1

9

说明/提示

$2\le N\le 5\times 10^4,1\le K\le 10^5$。

solution

• 1 对于一条路径 x -> y. 设 lca(A, B) = u, 则 u -> x 和 u -> y 所有节点次数 +1，但是u重复了一次

•  如果 u = x (或者y) 也可以这么处理
  

• 2 对于 1 中可以标记 g[x]++, g[y]++, g[u]–, g[fa[u]]–，然后从下往上求前缀和即可

代码

#include <iostream>
#include "bit"
#include "vector"
#include "unordered_set"
#include "set"
#include "queue"
#include "algorithm"
#include "bitset"
#include "cstring"using namespace std;/** P3128 [USACO15DEC] Max Flow P* 题目大意： n (n <= 50000) 个节点组成一颗树, k (<=10^5) 条路径，求每个顶点被路径通过的次数的最大值** 思路：树上差分+最近公共祖先* 1 对于一条路径 x -> y. 设 lca(A, B) = u, 则 u -> x 和 u -> y 所有节点次数 +1，但是u重复了一次*      如果 u = x (或者y) 也可以这么处理* 2 对于 1 中可以标记 g[x]++, g[y]++, g[u]--, g[fa[u]]--，然后从下往上求前缀和即可*/const int N = 5e4 + 1;int n, K, d[N], f[N][20], g[N], ans;
vector<int> e[N];void dfs(int u, int p) {f[u][0] = p;for (int i = 1; i < 20; i++) f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];d[u] = d[p] + 1;for (int v: e[u]) if (v != p) dfs(v, u);
}void dfs2(int u, int p) {for (int v: e[u])if (v != p) {dfs2(v, u);g[u] += g[v];}ans = max(ans, g[u]);
}int lca(int x, int y) {if (x == y) return x;if (d[x] < d[y]) swap(x, y);for (int i = 19; d[x] != d[y]; i--) if (d[f[x][i]] >= d[y]) x = f[x][i];if (x == y) return x;for (int i = 19; i >= 0; i--) if (f[x][i] != f[y][i]) x = f[x][i], y = f[y][i];return f[x][0];
}int main() {cin >> n >> K;for (int i = 1; i < n; i++) {int x, y;cin >> x >> y;e[x].push_back(y);e[y].push_back(x);}dfs(1, 0);for (int i = 0, x, y; i < K; i++) {cin >> x >> y;int u = lca(x, y);g[x]++, g[y]++, g[u]--, g[f[u][0]]--;}dfs2(1, 0);cout << ans << endl;return 0;
}

结果