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二分查找专题(十)：“Z字形”的降维！当二分查找“失效”时

news 2025/11/12 10:45:54

哈喽各位，我是前端小L。

欢迎来到我们的二分查找专题第十篇！我们手握“万能模板”，正准备大杀四方。面对今天这个“行有序、列有序”的矩阵，我们的第一反应可能是：

“拉平”？ [...5], [...6]。不行，6 比 5 大，但 [...5, 4] 呢？4 比 5 小。它无法拉平成一个完美的一维有序数组。
对每一行都二分查找？ for 循环 m 行，每行 O(log n)。总时间 O(m log n)。
对每一列都二分查找？ for 循环 n 列，每列 O(log m)。总时间 O(n log m)。

这两种 O(n log m) 或 O(m log n) 的解法是可行的，但... 它们足够“高质量”吗？有没有一种更巧妙的、不依赖二分查找的 O(m+n) 解法呢？

有！

力扣 240. 搜索二维矩阵 II

https://leetcode.cn/problems/search-a-2d-matrix-ii/

题目分析：

输入：一个 m x n 矩阵。
属性：
1. 每行从左到右升序。
2. 每列从上到下升序。
目标：判断 target 是否存在。

“Aha!”时刻：从“角落”出发的“Z字形”搜索

让我们站在矩阵的右上角 (row = 0, col = n-1)，把它当作一个“起点”。设当前元素为 current = matrix[row][col]。我们来和 target 比较：

Case 1: current == target
- 找到了！return true。
Case 2: current > target
- current 比 target 大。
- target 应该在哪里？current 下方的元素都比 current 大（列有序），所以 target 不可能在 current 下方。
- target 唯一的可能性，是在 current 的左侧。
- 决策：向左移动。col--。
Case 3: current < target
- current 比 target 小。
- target 应该在哪里？current 左侧的元素都比 current 小（行有序），所以 target 不可能在 current 左侧。
- target 唯一的可能性，是在 current 的下方。
- 决策：向下移动。row++。

这个过程，就像在矩阵上走一个“Z”字形（或“7”字形）。 每一步，我们都能根据比较结果，明确地排除掉一整行或一整列，从而不断逼近 target，或者走出边界（说明不存在）。

(同理，你也可以从左下角 (row = m-1, col = 0) 开始，current > target 则 row--，current < target 则 col++。)

代码实现 (O(m+n) 巧解)

#include <vector>using namespace std;class Solution {
public:bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) {return false;}int m = matrix.size();    // 行数int n = matrix[0].size(); // 列数// 1. 从“右上角”开始int row = 0;int col = n - 1;// 2. 循环条件：只要还在矩阵内while (row < m && col >= 0) {int current = matrix[row][col];if (current == target) {return true;} else if (current > target) {// target 必在左方，排除当前列col--;} else { // current < target// target 必在下方，排除当前行row++;}}// 走出了边界，没找到return false;}
};

深度复杂度分析

时间复杂度 O(m + n)：
- 我们的起始点是 (0, n-1)，终点是 (m, -1) 或 (-1, n) 之外。
- 每一步 while 循环，row 指针只增不减（最多 m 步），col 指针只减不增（最多 n 步）。
- 两个指针移动的总步数之和，最多是 m + n 步。
- 总时间复杂度 O(m + n)。这比 O(m log n) 或 O(n log m) 都要快！
空间复杂度 O(1)：
- 只使用了 row, col, m, n 等常数个额外变量。