计算点到三次 Bézier 曲线最短距离及对应参数 u 的方法（转化为五次多项式）

1. 三次 Bézier 曲线定义

给定控制点 P₀、P₁、P₂、P₃，曲线为：

C(u) = (1−u)³ P₀ + 3(1−u)²u P₁ + 3(1−u)u² P₂ + u³ P₃, u ∈ [0, 1]

2. 最短距离条件

设空间点为 P。最短距离对应的参数 u 满足：
向量 C(u) − P 与切向量 C′(u) 正交，即：

(C(u) − P) ⋅ C′(u) = 0

该方程是关于 u 的 五次多项式方程。

3. 构造五次多项式系数

为简化计算，引入以下辅助向量（均为常向量）：

A = P₀ − P
B = P₁ − P₀
C = P₂ − 2P₁ + P₀
D = P₃ − 3P₂ + 3P₁ − P₀

则：

C(u) − P = A + 3B u + 3C u² + D u³
C′(u) = 3B + 6C u + 3D u²

代入正交条件并除以 3，得：

(A + 3B u + 3C u² + D u³) ⋅ (B + 2C u + D u²) = 0

展开后得到五次多项式：

k₅ u⁵ + k₄ u⁴ + k₃ u³ + k₂ u² + k₁ u + k₀ = 0

其中系数为：

k₀ = A ⋅ B
k₁ = 2 A ⋅ C + 3 B ⋅ B
k₂ = A ⋅ D + 6 B ⋅ C + 3 C ⋅ C
k₃ = 3 B ⋅ D + 6 C ⋅ C + 3 C ⋅ D
k₄ = 3 C ⋅ D + 3 D ⋅ D
k₅ = D ⋅ D

注：所有 “⋅” 表示向量点积（数量积）。

4. 求解步骤

1. 计算系数 k₀ 到 k₅（标量）。
2. 求解五次方程：k₅ u⁵ + k₄ u⁴ + k₃ u³ + k₂ u² + k₁ u + k₀ = 0
   → 使用数值方法（如 Jenkins-Traub、Durand-Kerner 或 Eigen/Boost 等库）求出所有实根。
3. 保留区间 [0, 1] 内的实根，记为候选参数 {uᵢ}。
4. 添加端点 u = 0 和 u = 1 到候选集。
5. 对每个候选 u，计算距离 ‖C(u) − P‖。
6. 取距离最小者对应的 u* 和最短距离 dₘᵢₙ = ‖C(u*) − P‖。

5. 说明

• 五次方程无解析求根公式，必须用数值方法。
• 实际应用中，可结合牛顿迭代法以提高精度。
• 若 D = 0（退化为二次或直线），多项式次数降低，仍适用上述公式（高阶系数为 0）。