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作者：孤廖
学习方向：C++/Linux/算法
人生格言：折而不挠，中不为下

正文：

继上篇 Dijkstra 算法后，本文带来能处理负权边的 Bellman - Ford 与优化版 SPFA 算法模板精讲～需注意：负环的判断技巧，我们留到下一篇博客详细讲解。

一：bellman-ford 算法

介绍：

Bellman‒Ford 算法(之后简称 BF 算法)是⼀种基于松弛操作的最短路算法，可以求出有负权的图的最短路，并可以对最短路不存在的情况进⾏判断
算法核⼼思想：不断尝试对图上每⼀条边进⾏松弛，直到所有的点都⽆法松弛为⽌。

Bellman‒Ford 算法流程：

• 准备⼯作：

• 创建⼀个⻓度为 n 的 dist 数组，其中 dist[i] 表⽰从起点到 i 结点的最短路

• 初始化： dist[1] = 0 ，其余结点的 dist 值为⽆穷⼤，表⽰还没有找到最短路。
• 重复：每次都对所有的边进⾏⼀次松弛操作
• 重复上述操作，直到所有边都不需要松弛操作为⽌。

最多重复多少轮松弛操作？

• 在最短路存在的情况下，由于⼀次松弛操作会使最短路的边数⾄少增加 1，⽽最短路的边数最多为 n -1 因此整个算法最多执⾏轮松弛操作 n - 1 轮。故总时间复杂度为 O(nm) 。

代码实现：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
//bellman-ford 算法#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10, INF = 2147483647;
typedef pair<int, int> PII;
vector<PII> edges[N];//edges[i]:i的出边点  和其对应的边权值
int n,m,s;//点，边的个数，起源点
int dist[N];//dist[i]:节点i距离起源点的最短路径
void bellman_ford()
{//初始化for (int i = 0; i <= n; i++) dist[i] = INF;dist[s] = 0;//bfbool flag = false;//标记该轮是否进行过松弛操作for (int i = 1; i < n; i++)//每次松弛一个边 最多n-1次{flag = false;//遍历所有点for (int i = 1; i <= n; i++){if (dist[i] == INF) continue;//避免INF 溢出 成为负数//将所有点的出边进行松弛操作for (auto& e : edges[i]){int v = e.first, z = e.second;if (dist[i] + z < dist[v]){dist[v] = dist[i] + z;flag = true;}}}if (flag == false) break;}//输出结果for (int i = 1; i <= n; i++){cout << dist[i] << " ";}
}

二： spfa 算法

介绍：

spfa 即 Shortest Path Faster Algorithm，本质是⽤队列对 BF 算法做优化。
在 BF 算法中，很多时候我们并不需要那么多⽆⽤的松弛操作:

• 只有上⼀次被松弛的结点，它的出边，才有可能引起下⼀次的松弛操作；
• 因此，如果⽤队列来维护"哪些结点可能会引起松弛操作"，就能只访问必要的边了，时间复杂度就能降低

spfa 算法流程：

• 准备⼯作：

• 创建⼀个⻓度为 n 的 dist 数组，其中 dist[i] 表⽰从起点到 i 结点的最短路；
• 创建⼀个⻓度为 n 的 bool 数组 st ，其中 st[i] 表⽰ i 点是否已经在队列中。

• 初始化：标记 dist[1] = 0 ，同时 1 ⼊队；其余结点的 dist 值为⽆穷⼤，表⽰还没有找到最短路.
• 重复：每次拿出队头元素 u ，去掉在队列中的标记，同时对 u 所有相连的点 v 进⾏松弛操作。如果结点 v 被松弛，那就放进队列中。
• 重复上述操作，直到队列中没有结点为⽌

注意注意注意：
虽然在⼤多数情况下 spfa 跑得很快(最优时间复杂度可以到o(Km))(K是一个常数)，但其最坏情况下的时间复杂度为 O(nm)。将其卡到这个复杂度也是不难的，所以在没有负权边时最好使⽤ Dijkstra 算法。

如何优雅的卡spfa 感兴趣的可以看下。

代码实现：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
//spfa 算法 本质是用队列对bellman-ford算法的优化#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10, INF = 2147483647;
typedef pair<int, int> PII;
vector<PII> edges[N];//edges[i]:i的出边点  和其对应的边权值
int n, m, s;//点，边的个数，起源点
int dist[N];//dist[i]:节点i距离起源点的最短路径
bool st[N];//st[i]:节点i 是否在队列中
void spfa()
{//初始化for (int i = 0; i <= n; i++) dist[i] = INF;dist[s] = 0;queue<int> q;//将上一轮进行过松弛操作的点加入队列中q.push(s);st[s] = true;//spafwhile (q.size()){int u = q.front();q.pop();st[u] = false;//将 u 的出边进行松弛操作for (auto& e : edges[u]){int v = e.first;int z = e.second;if (dist[u] + z < dist[v]){dist[v] = dist[u] + z;if (!st[v]) q.push(v);}}}//输出结果for (int i = 1; i <= n; i++) cout << dist[i] << " ";}
int main()
{cin >> n >> m >> s;for (int i = 1; i <= m; i++){int u, v, z;cin >> u >> v >> z;edges[u].push_back({ v,z });}spfa();return 0;
}

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结语：

这篇 “算法磨剑：用 C++ 思考的艺术”，我们把Bellman-Ford和它的 “优化形态”SPFA在 “负权边场景” 里彻底 “磨” 通了 ——Bellman-Ford 靠 “k 轮全边松弛”，天生能处理含负权的图（还能限制最短路最多经过 k 条边），用 C++ 的memcpy做 “备份数组”，让 “松弛的顺序干扰” 变得可控；SPFA 则用队列优化，只对 “可能被更新的节点” 重复松弛，靠 C++ 的queue把时间复杂度从 “稳定 O (nm)” 优化到 “多数情况接近 O (m)”，完美适配 “非极端负权图” 的实战。

但这俩算法的故事还没结束 —— 它们能处理负权边，却也天生和 “负环”（能无限缩短路径的环）深度绑定：Bellman-Ford 能通过 “是否还能松弛” 判断负环存在，SPFA 更能高效定位负环。明天的专栏，我们就聚焦 “负环判断”，用具体例题看这俩算法如何从 “处理负权” 进阶到 “检测致命负环”，补上单源最短路的最后一块拼图。

如果今天的两个算法模板解析，帮你突破了 “Dijkstra 处理不了负权” 的瓶颈，不妨点个赞 + 收藏方便复习；也欢迎评论区交流：你学 Bellman-Ford 时，有没有被 “k 轮松弛” 的逻辑绕晕？用 SPFA 时，有没有遇到过 “队列优化反而变慢” 的极端场景？带着对 “负环” 的好奇，我们明天继续 “磨” 单源最短路的收尾技巧～