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知识蒸馏 - 基于KL散度的知识蒸馏 HelloWorld 示例 KL散度公式对应

flyfish

KL散度的公式

KL散度用于衡量两个概率分布 $P$（教师分布）和 $Q$（学生分布）的差异，公式为：
$$\text{KL}(P\parallel Q)=\sum _{x}P(x)\cdot \left[\log P(x)-\log Q(x)\right]$$

对应公式：

1. teacher_soft = softmax(teacher_logits / T, dim=-1)
   → 得到教师的概率分布 $P(x)=\text{softmax}(\text{teacher\_logits}/T)$。

2. student_soft = log_softmax(student_logits / T, dim=-1)
   → 得到学生的对数概率 $\log Q(x)=\log \left(\text{softmax}(\text{student\_logits}/T)\right)$。

3. kl_loss = sum( teacher_soft * (teacher_soft.log() - student_soft) ) / batch_size
teacher_soft.log() 是 $\log P(x)$；
   student_soft` 是 $\log Q(x)$；
   整体即公式中的 $\sum P(x)\cdot [\log P(x)-\log Q(x)]$，完全匹配KL散度的定义。

教师用softmax是为了得到概率分布 $P(x)$，学生用log_softmax是为了直接得到 $\log Q(x)$，两者组合恰好满足KL散度的公式要求，同时利用log_softmax的数值稳定性提升计算可靠性。

log_softmax 操作在数学上等价于对输入先执行 softmax 得到概率分布，再对该概率分布取对数

import torch
import torch.nn.functional as F# 1. 定义示例输入（模型输出的logits）
logits = torch.tensor([[1.0, 2.0, 3.0],  # 样本1的类别得分[4.0, 5.0, 6.0]   # 样本2的类别得分
], dtype=torch.float32)# 温度参数（此处设为1.0，不影响等价性验证）
T = 1.0
scaled_logits = logits / T  # 温度软化后的logits# 2. 两种方式计算对数概率
# 方式1：直接使用log_softmax
log_softmax_result = F.log_softmax(scaled_logits, dim=-1)# 方式2：先计算softmax，再取对数
softmax_result = F.softmax(scaled_logits, dim=-1)
log_of_softmax = torch.log(softmax_result)# 3. 打印结果对比
print("===== 原始logits（温度软化后） =====")
print(scaled_logits)
print("\n===== 方式1：log_softmax直接计算 =====")
print(log_softmax_result)
print("\n===== 方式2：softmax后取对数 =====")
print(log_of_softmax)# 4. 数值等价性验证（允许微小浮点数误差）
# 检查所有元素是否在1e-6精度内相等
is_equivalent = torch.allclose(log_softmax_result, log_of_softmax, atol=1e-6)
print("\n===== 等价性验证 =====")
print(f"log_softmax 与 softmax+log 是否等价：{is_equivalent}")

===== 原始logits（温度软化后） =====
tensor([[1., 2., 3.],[4., 5., 6.]])===== 方式1：log_softmax直接计算 =====
tensor([[-2.4076, -1.4076, -0.4076],[-2.4076, -1.4076, -0.4076]])===== 方式2：softmax后取对数 =====
tensor([[-2.4076, -1.4076, -0.4076],[-2.4076, -1.4076, -0.4076]])===== 等价性验证 =====
log_softmax 与 softmax+log 是否等价：True