寻好子集：用两种思维探究所求可能

好子集"寻宝记：如何用两种思维解锁637种可能？

当数学遇上"偶数霸权"，如何优雅地数清所有"话语权联盟"？

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📜 问题描述

考虑集合 S={1,2,…,10}S = \{1, 2, \ldots, 10\}S={1,2,…,10} 的所有非空子集，若一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是“好子集”，则求“好子集”的数目。

集合 S={1,2,…,10}S = \{1, 2, \ldots, 10\}S={1,2,…,10} 包含5个偶数（2,4,6,8,10）和5个奇数（1,3,5,7,9）．若一个非空子集中偶数的数量 ≥ 奇数的数量，则称其为"好子集"．求所有"好子集"的数目．

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💡 破题思路

核心矛盾：偶数与奇数的"权力平衡"问题．

• 第一直觉（暴力枚举❌）：$2^{10}-1=1023$ 个子集？算到天荒地老！
• 关键洞察：偶数与奇数独立选择，且胜负取决于双方"兵力对比"．
• 破题点：按偶数数量 $i$ 分类，奇数数量 $j$ 需满足 $0\le j\le i$（偶数不能输！）．

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🔍 关键推导

方法一：直接分类计数

设好子集中有 $i$ 个偶数（$i=1,2,\dots ,5$），则奇数数量 $j$ 可取 $0$ 到 $i$．
公式骨架：
$$\text{好子集数}=\sum _{i=1}^5\left(C_5^i\sum _{j=0}^i{C}_5^j\right)$$

拆解计算（⚠️注意组合数对称性 $C_5^k=C_5^{5-k}$）：

$i$	偶数选法	奇数选法	计数
1	$C_5^1=5$	$C_5^0+C_5^1=1+5=6$	$5\times 6=30$
2	$C_5^2=10$	$C_5^0+C_5^1+C_5^2=1+5+10=16$	$10\times 16=160$
3	$C_5^3=10$	$C_5^0$ 到 $C_5^3=1+5+10+10=26$	$10\times 26=260$
4	$C_5^4=5$	$C_5^0$ 到 $C_5^4=1+5+10+10+5=31$	$5\times 31=155$
5	$C_5^5=1$	$C_5^0$ 到 $C_5^5=32$	$1\times 32=32$

汇总：$30+160+260+155+32=\boxed{637}$．

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方法二：对称性巧算

总子集数：$2^{10}-1=1023$（排除空集）．
分类：

1. 偶数 > 奇数（好子集）
2. 奇数 > 偶数
3. 偶数 = 奇数

关键对称性：因偶数与奇数数量相等（各5个），故 类型1和类型2的子集数相同！
第三类（等量）计算： 选 $k$ 个偶数 同时 选 $k$ 个奇数（$k=1,2,\dots ,5$）：
$$\begin{array}{rl}& C_5^1{C}_5^1+C_5^2{C}_5^2+\cdots +C_5^5{C}_5^5\\ =& 5\times 5+10\times 10+10\times 10+5\times 5+1\times 1\\ =& 25+100+100+25+1=251\end{array}$$

反推：类型1和类型2子集总数 $=1023-251=772$，因对称性各有 $772÷2=386$．
好子集 = 类型1 + 类型3 $=386+251=\boxed{637}$．

⚠️ 易错点：$k=0$ 时是空集，故等量子集从 $k=1$ 开始！

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🌟 举一反三

1. 对称破局：当两类元素数量相等时，"优劣对称性"是简化分类讨论的利器．
2. 双分类法：先固定一类数量（如偶数$i$），另一类范围自然浮现（$j\le i$）．
3. 组合数技巧：善用 ${\sum }_{k=0}^n{C}_n^k=2^n$ 和 $C_n^k=C_n^{n-k}$ 提速计算．

💎 终极心法：数学中的"公平分配"问题，本质是组合恒等式的现实投影．掌握对称与分类，便握住了组合数学的钥匙！