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数据结构之图的邻接矩阵

news 2025/11/2 8:21:27

一、邻接矩阵的核心原理

二、通用邻接矩阵类解析

三、实战：有向图与无向图的创建

案例 1：有向图

案例 2：无向图

四、邻接矩阵的优缺点与适用场景

优点

缺点

适用场景

五、对比邻接矩阵 vs 邻接表

核心原理对比

代码实现对比

邻接表实现（泛型版）

复杂度与性能对比

适用场景对比

总结

五、总结

在图论与数据结构的学习中，邻接矩阵是最基础也最直观的图存储方式之一。它通过二维数组（矩阵）来表达顶点间的连接关系，适用于多种图算法的实现。本文将基于一份泛型邻接矩阵类，从原理、代码解析到实战应用，带你全面掌握这一数据结构。

一、邻接矩阵的核心原理

邻接矩阵的本质是用二维数组记录顶点间的边权，其设计思路可拆解为三个关键部分：

顶点存储：用 vector<V> _vertexs 保存所有顶点，同时通过 map<V, int> _indexMap 建立 “顶点值→数组下标” 的映射，快速定位顶点在矩阵中的位置。
边的存储：用 vector<vector<W>> _matrix 表示边的权重。_matrix[i][j] 的含义为：
- 若 i == j：通常为 0（顶点到自身的权重，本文用 Max_W 统一初始化）；
- 若顶点 i 与 j 间有边：值为边的权重 W；
- 若顶点 i 与 j 间无边：值为预设的最大权重 Max_W（如 INT_MAX，打印时用 * 表示）。
方向支持：通过模板参数 Direaction 控制图的类型 ——true 表示有向图（边单向），false 表示无向图（边双向对称）。

二、通用邻接矩阵类解析

以下是支持泛型、可切换有向 / 无向图的邻接矩阵类实现，关键功能已标注说明：

#pragma once
#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<climits>
using namespace std;// 模板参数说明：
// V：顶点数据类型；W：边权重数据类型；Max_W：无边时的默认权重；Direaction：是否为有向图（true=有向，false=无向）
template<class V, class W, W Max_W = INT_MAX, bool Direaction = true>
class Gragh
{
public:// 构造函数：初始化顶点和邻接矩阵Gragh(const V* a, int n){_vertexs.reserve(n);  // 预分配空间，优化vector扩容开销for (int i = 0; i < n; i++){_vertexs.push_back(a[i]);  // 存储顶点_indexMap[a[i]] = i;       // 建立顶点到下标的映射}// 初始化邻接矩阵：n行n列，默认值为Max_W（表示无边）_matrix.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++){_matrix[i].resize(n, Max_W);}}// 功能1：根据顶点值获取其下标（含越界提示）size_t GetvertexsIndex(const V& v){auto it = _indexMap.find(v);if (it != _indexMap.end()){return it->second;  // 找到顶点，返回其下标}else{cout << "顶点 " << v << " 不存在！" << endl;return -1;         // 未找到顶点，返回-1（后续需校验）}}// 功能2：添加边（自动适配有向/无向图）void AddEdge(const V& start, const V& end, const W& w){// 1. 获取起点和终点的下标size_t src = GetvertexsIndex(start);size_t drc = GetvertexsIndex(end);// 2. 校验下标有效性（避免数组越界）if (src == -1 || drc == -1) return;// 3. 赋值边权重：有向图仅赋值src→drc，无向图双向赋值_matrix[src][drc] = w;if (Direaction == false)  // 无向图时，反向边也需赋值{_matrix[drc][src] = w;}}// 功能3：打印邻接矩阵（优化格式，提升可读性）void Print(){// 打印顶点列表（带下标）for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)cout << '[' << i << ']' << _vertexs[i] << "  ";cout << endl;// 打印矩阵表头（列下标）printf("\n%-3c", '\\');  // 左上角标识，区分行与列for (int i = 0; i < _matrix.size(); i++)printf("%-3d", i);    // 列下标右对齐，占3字符cout << endl;// 打印矩阵内容（行下标 + 权重）for (int i = 0; i < _matrix.size(); i++){printf("%-3d", i);    // 打印行下标for (int j = 0; j < _matrix[i].size(); j++){if (_matrix[i][j] == Max_W)printf("%-3c", '*');  // 无边时打印*，替代Max_Welseprintf("%-3d", _matrix[i][j]);  // 有边时打印权重}cout << endl;}}private:vector<V> _vertexs;       // 存储所有顶点的集合map<V, int> _indexMap;    // 顶点值→数组下标的映射（快速查找）vector<vector<W>> _matrix;// 邻接矩阵：存储边的权重
};

三、实战：有向图与无向图的创建

案例 1：有向图（默认行为，`Direaction=true`）

以 “程序模块依赖图” 为例，假设存在模块 A、B、C，依赖关系为：

A → B（权重 2，表示 A 依赖 B）；
B → C（权重 3，表示 B 依赖 C）；
C → A（权重 1，表示 C 依赖 A）。

#include "Gragh.hpp"
int main()
{// 1. 定义顶点数组string modules[] = { "A", "B", "C" };int n = sizeof(modules) / sizeof(modules[0]);// 2. 创建有向图对象（默认Direaction=true）Gragh<string, int, INT_MAX> g(modules, n);// 3. 添加有向边g.AddEdge("A", "B", 2);g.AddEdge("B", "C", 3);g.AddEdge("C", "A", 1);// 4. 打印邻接矩阵g.Print();return 0;
}

输出结果：

[0]A  [1]B  [2]C  \  0  1  2  
0  *  2  *  
1  *  *  3  
2  1  *  *

可见有向图的邻接矩阵不对称，仅 _matrix[src][drc] 有值，符合 “边单向” 的特性。

案例 2：无向图（显式指定 `Direaction=false`）

以 “社交关系图” 为例，假设用户 Alice、Bob、Charlie 的好友关系为：

Alice ↔ Bob（权重 5，表示亲密度）；
Bob ↔ Charlie（权重 3，表示亲密度）；
Alice ↔ Charlie（权重 2，表示亲密度）。

int main()
{string users[] = { "Alice", "Bob", "Charlie" };int n = sizeof(users) / sizeof(users[0]);// 创建无向图对象（显式指定Direaction=false）Gragh<string, int, INT_MAX, false> g(users, n);// 添加无向边g.AddEdge("Alice", "Bob", 5);g.AddEdge("Bob", "Charlie", 3);g.AddEdge("Alice", "Charlie", 2);g.Print();return 0;
}