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数学分析简明教程——1.4（未完）

news 2025/11/2 8:07:24

【Easy】1.证明f(x)=\frac{x}{1+x^2}是R上的有界函数

因为(x-1)^2\geqslant 0\Rightarrow x^2+1\geqslant 2x

|f(x)|=|\frac{x}{1+x^2}|\leqslant |\frac{x}{2x}|=0.5，故函数有界

【Easy】2.

这里如果想不到x0取什么可以逆推选一个比M大的数比如M+1，使得f(x0)=M+1，这样就可以逆推得到x0的值。

【Middle】3.

利用基本定义证明同时利用积化和差，和差化积公式

【Hard】4.

定理补充：有界的单调数列必定有极限

当得知极限存在时就可以两边同时取极限

其实如果一开始无法证明极限存在但是肯定极限存在，可以先对左右取极限算出极限值代回去证明

第三题技巧性强，把n拆成了N和n-N两个部分

这个部分因为N有限，因此可以看成是常数

这个部分是已经放缩之后的部分，因为N=[c],N+1>c，当n趋于无穷时趋近于0，0*常数=0，故极限是0

http://www.dtcms.com/a/557314.html

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