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波动率建模（三）Heston模型及其Python实现

news 2025/11/2 7:47:13

1. 为什么需要Heston模型？

BS模型假设：波动率（volatility）是常数。然而现实金融市场中，BS模型的假设存在明显缺陷：

波动率是变化的：市场波动率会随时间剧烈变化（例如金融危机期间波动率飙升）。
波动率聚集（Volatility Clustering）：高波动率倾向于跟随高波动率，低波动率跟随低波动率。
杠杆效应（Leverage Effect）：股价下跌时，公司杠杆上升，风险增加，波动率上升。
波动率微笑/偏斜（Volatility Smile/Skew）：用B-S模型反推的隐含波动率随行权价变化，形成“微笑”或“偏斜”曲线，这与常数波动率假设矛盾。

Heston模型通过引入随机波动率和波动率与资产价格的相关性，成功解释了这些现象。

2. Heston模型的基本设定

Heston模型的核心思想是：资产价格的波动率本身也是一个随机过程，通常用一个均值回归的随机过程（如CIR过程）来描述。

模型在风险中性测度下由以下两个随机微分方程（SDE）定义：

(1) 资产价格过程： $dS_t = r S_t dt + \sqrt{v_t} S_t dW_t^S$

(2) 方差过程（波动率平方）： $dv_t = \kappa (\theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} dW_t^v$ ，这个其实是CIR过程的形式。

(3) 资产价格和波动率的相关性过程： $dW_t^S \cdot dW_t^v = \rho dt$

其中：

- $S_t$ ：标的资产在时间 $t$ 的价格。
- $v_t$ ：资产价格的瞬时方差（即波动率的平方， $v_t = \sigma_t^2$ ）。注意：Heston模型对方差建模，而非波动率。
- $r$ ：无风险利率（假设为常数）。
- $\kappa$ ：方差过程的均值回归速度（Speed of mean reversion）。值越大，方差越快回到长期均值。
- $\theta$ ：方差过程的长期均值（Long-term variance）。
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