【PID】非标准PID控制是否影响控制目标 chapter1（补充）思考

本文主要思考如下问题：

• 非标准PID控制是否影响控制目标？比如位置式PID和增量式PID控制，理论上是否都是朝着误差趋于0的目标？

首先需要明确

• 当系统趋于稳态时： “误差$err(t)$趋近0”，“控制量$u(t)$趋于稳定值”，两者并不是严格充分必要关系。甚至如果设计不当，两者不存在这中数学上的推理关系。
• 如果系统本身是动态变化的，误差趋于0，控制量也不一定趋于0。

当然，对于我们当前的问题，我们需要考虑的是：非标准的PID控制的控制量$u(t)$是否是朝同一个方向变化，最终误差变化趋势是否也一致？

如果这个答案是肯定的，那么我们最初问题的答案也是肯定的。

推理过程

由连续PID到位置式PID的离散是十分自然的，就这两者而言，我们问题的肯定的答案（显而易见）。

那么对于位置式PID和增量式PID，其控制规律分别如下：

$$u(k)=k_{p}err(k)+k_i\sum _{j=0}^{k}err(j)T+k_d\frac{err(k)-err(k-1)}{T}$$

$$\Delta u(k)=k_p(err(k)-err(k-1))+k_{i}err(k)T+k_d(err(k)-2err(k-1)+err(k-2))$$
对于增量式PID控制，其控制量：
$$\begin{array}{rl}u(k)& =u(k-1)+\Delta u(k)\\ & =u(k-2)+\Delta u(k-1)+\Delta u(k)\\ & \cdots \\ & =u(0)+\sum _{j=0}^k\Delta u(j)\end{array}$$

这里，定义$u(0)=err(-1)=err(-2)=0$，进而上式可以进一步简化：
$$\begin{array}{rl}u(k)& =\sum _{j=0}^k\Delta u(j)\\ & =\sum _{j=0}^k{k}_p(err(j)-err(j-1))+\sum _{j=0}^{k}err(j)T+\sum _{j=0}^k{k}_d(err(j)-2err(j-1)+err(j-2))\\ & =k_{p}err(k)+\sum _{j=0}^{k}err(j)T+k_d\frac{err(k)-err(k-1)}{T}\end{array}$$
由此可见，增量式PID和位置式PID，理论上其控制量是等效的。

• 既然控制量一致，理论上，最终控制效果是等效的。最终误差肯定是朝着同样的方向变化。

同样，对于同一个系统而言（假设系统是趋于稳态，且控制结果是无偏）：

• 当误差$e(k)\to 0$时，$u(k)\to$同一稳定值。

结论

• 非标准PID控制理论上不影响控制目标，因其控制量是等效的。
• 对于同一稳态系统，且控制参数合理的情况下，误差趋于0。

碎碎念：为什么思考这个问题？是因为在稳态无偏的情况下，理论上增量式PID控制率的$\Delta u(k)\to 0$，这一想，位置式PID的控制率是直接针对$u(k)$,最终$u(k)$应该是趋于一个稳态值。那这两种控制思路对结果会有响应吗？脑子一下没转过弯，因此写了这一篇文章。当然，笔者的考虑还有很多欠缺的，恳请各位批评指正。