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用Python来学微积分25-微积分中的函数奥秘：单调性、极值与最值

news 2025/11/2 7:13:09

文章目录

- 一、函数的单调性
- - 1. 概念讲解
  - 2. 手动求解步骤
  - 3. Python 案例
- 二、函数的极值
- - 1. 概念讲解
  - 2. 手动求解步骤
  - 3. Python 案例
- 三、函数的最值
- - 1. 概念讲解
  - 2. 手动求解步骤
  - 3. Python 案例

宝子们，今天咱们一起深入微积分的奇妙世界，探索函数的单调性、极值和最值这些重要概念！别担心，我会结合超有趣的 Python 案例，让这些知识变得通俗易懂~

一、函数的单调性

1. 概念讲解

函数的单调性描述的是函数值随着自变量的增大或减小而变化的趋势。如果函数在某个区间上，自变量增大时函数值也增大，那就是单调递增；反之，自变量增大时函数值减小，就是单调递减。

2. 手动求解步骤

对于一个函数 $y = f (x)$ ，我们可以通过求它的导数 $f^{'} (x)$ 来判断单调性：

求出函数的导数 $f^{'} (x)$ 。
令 $f^{'} (x) > 0$ ，解出不等式的区间，这些区间就是函数的单调递增区间。
令 $f^{'} (x) < 0$ ，解出不等式的区间，这些区间就是函数的单调递减区间。

3. Python 案例

我们以函数 $y = x^2 - 3x$ 为例，来看看它的单调性。首先，我们需要导入 Python 的科学计算库 numpy 和绘图库 matplotlib。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义函数
def f(x):return x**2 - 3*x# 求导
def df(x):return 2*x - 3# 生成 x 值
x = np.linspace(-2, 4, 100)
y = f(x)
dy = df(x)# 绘制函数图像和导数图像
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(x, y, label='y = x^2 - 3x')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(x, dy, label="y' = 2x - 3", color='r')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel("y'")
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='--')
plt.legend()plt.tight_layout()
plt.show()# 判断单调性
critical_point = 3 / 2
print(f"当 x < {critical_point} 时，导数小于 0，函数单调递减。")
print(f"当 x > {critical_point} 时，导数大于 0，函数单调递增。")

运行结果:

在这个案例中，我们先定义了原函数和它的导数函数，然后通过 numpy 生成一系列 $x$ 值并计算对应的函数值和导数值，最后绘制出函数图像和导数图像。从导数的正负我们可以清楚地看到函数的单调性变化。

二、函数的极值

1. 概念讲解

极值是函数在某个局部范围内的最大值或最小值。也就是说，在极值点附近，函数值比周围的点都大（极大值）或者都小（极小值）。

2. 手动求解步骤

求函数 $f (x)$ 极值的一般步骤如下：

确定函数的定义域。
求导数 $f^{'} (x)$ 。
令 $f^{'} (x) = 0$ ，求出驻点，以及找出 $f^{'} (x)$ 不存在的点。
列表分析这些点两侧导数的正负性，确定是极大值点还是极小值点。
将极值点代入原函数，求出对应的极值。

3. Python 案例

同样以函数 $y = x^2 - 3x$ 为例，用 Python 来找到它的极值。

from scipy.optimize import minimize_scalar# 定义函数
def f(x):return x**2 - 3*x# 寻找极小值
res = minimize_scalar(f)
min_x = res.x
min_y = f(min_x)print(f"函数的极小值点为 x = {min_x}，极小值为 y = {min_y}")

这里我们使用了 scipy 库中的 minimize_scalar 函数来寻找函数的极小值。当然，我们也可以手动按照上述步骤，先求导找到驻点，再判断是极大值还是极小值。

三、函数的最值

1. 概念讲解

最值是函数在整个定义域内的最大值和最小值。它可能是区间端点处的函数值，也可能是区间内的极值。

2. 手动求解步骤

求连续函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的最值步骤如下：

求出函数在 $(a, b)$ 内所有的驻点和导数不存在的点。
计算函数在这些点以及区间端点 $a$ 和 $b$ 处的函数值。
比较这些函数值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。

3. Python 案例

假设我们有一个函数 $3\sqrt[3]{x^2} - 2x$ ，在区间 $\frac{1}{2}]$ 上求它的最值。

import numpy as np# 定义函数
def f(x):return 3 * np.cbrt(x**2) - 2*x# 区间端点
a = -1
b = 0.5# 生成区间内的点
x_values = np.linspace(a, b, 100)
y_values = f(x_values)# 绘制函数图像
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x_values, y_values)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Function y = 3√[3]{x^2} - 2x on [-1, 0.5]')
plt.show()# 寻找临界点：包括导数为零的点（驻点）和导数不存在的点
# 由于导数 f'(x) = 2*x^(-1/3) - 2，令导数为零得 x=1（不在区间内），导数不存在的点为 x=0
critical_points = [a, b, 0]  # 包括端点和 x=0y_endpoints = [f(x) for x in critical_points]max_index = np.argmax(y_endpoints)
min_index = np.argmin(y_endpoints)print(f"函数在区间 [{a}, {b}] 上的最大值为 {y_endpoints[max_index]}，在 x = {critical_points[max_index]} 处取得。")
print(f"函数在区间 [{a}, {b}] 上的最小值为 {y_endpoints[min_index]}，在 x = {critical_points[min_index]} 处取得。")