用Python来学微积分24-洛必达法则

洛必达法则：轻松搞定不定式极限的魔法棒

今天咱们来学习数学分析里超重要的一个法则——洛必达法则！这玩意儿就像是解决不定式极限问题的魔法棒，掌握了它，很多看似复杂的极限问题都能迎刃而解啦。

一、什么是不定式极限

在开始讲洛必达法则之前，首先搞清楚什么是不定式极限。简单来说呢，当我们在求极限的时候，会遇到像 $\frac{0}{0}$ 型或者 $\frac{\infty }{\infty }$ 型这样的形式，就叫做不定式极限。比如说，当 $x$ 趋近于某个值的时候，分子和分母都趋近于 0 或者都趋近于无穷大，这种极限就不好直接算出来。那咋办呢？这时候洛必达法则就闪亮登场啦！

二、洛必达法则是啥

洛必达法则是这样的：如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足一定条件：

1. $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$，$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=0$（这是 $\frac{0}{0}$ 型的情况）；或者 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$，$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\infty$（这是 $\frac{\infty }{\infty }$ 型的情况）。
2. 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内 $f^{\prime }(x)$ 和 $g^{\prime }(x)$ 都存在，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$。
3. $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在或为无穷大。

那么就有 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$。

这里要注意哦，$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ 必须是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$ 型不定式，而且要是算出来 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 还是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$ 型，还可以继续用洛必达法则呢。但要是算不出来极限状态，或者极限振荡不存在，那洛必达法则就没用了，得换别的方法。

三、手动求解案例

为了让大家更直观地理解洛必达法则的应用，我们先来看一个手动求解的实例。求 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$，这就是个典型的 $\frac{0}{0}$ 型不定式极限。

根据洛必达法则，对分子分母分别求导。由于 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，$(x{)}^{\prime }=1$，所以 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=1$。

四、Python 案例演示

接下来，我们使用 Python 来验证一下这个结果。在 Python 里，我们可以使用 sympy 库来进行符号计算。首先得安装 sympy 库哦，要是还没安装，可以在命令行输入 pip install sympy。

下面是代码示例：

import sympy# 定义符号变量
x = sympy.Symbol('x')# 定义函数
f = sympy.sin(x)
g = x# 计算极限
limit_result = sympy.limit(f / g, x, 0)
print(limit_result)

运行这段代码，输出结果为 1，与我们手动计算的结果完全一致。

再举个 $\frac{\infty }{\infty }$ 型的例子，求 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}$。

手动计算的话，对分子分母求导，$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$，$(x{)}^{\prime }=1$，所以 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$。

用 Python 代码验证：

import sympy# 定义符号变量
x = sympy.Symbol('x')# 定义函数
f = sympy.log(x)
g = x# 计算极限
limit_result = sympy.limit(f / g, x, sympy.oo)
print(limit_result)

运行代码后，同样会得到 0 的结果。

五、更多 Python 案例

下面我们通过更多的 Python 案例来进一步巩固对洛必达法则的理解。

（1）求 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$

手动计算：$(e^x-1{)}^{\prime }=e^x$，$(x{)}^{\prime }=1$，则 ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{e^x}{1}=1$。

Python 代码：

import sympyx = sympy.Symbol('x')
f = sympy.exp(x) - 1
g = x
limit_result = sympy.limit(f / g, x, 0)
print(limit_result)

运行代码后，会得到 1 的结果。

（2）求 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x$（这是 $0\cdot \infty$ 型，得变形为 $\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$ 这种 $\frac{\infty }{\infty }$ 型再用洛必达法则）

手动计算：变形后，$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$，$(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$，则 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}={\lim }_{x\to 0^{+}}(-x)=0$。

Python 代码：

import sympyx = sympy.Symbol('x')
f = sympy.log(x)
g = 1 / x
limit_result = sympy.limit(f / g, x, 0, dir='+')
print(limit_result)

运行代码后，会得到 0 的结果。

六、总结与互动

通过对洛必达法则的理论讲解以及手动计算和 Python 验证的案例分析，相信大家对洛必达法则已经有了较为清晰的认识。洛必达法则虽然功能强大，但在使用时务必严格遵循其条件。

大家不妨亲自选取一些不定式极限的题目，分别采用手动计算和 Python 验证的方式来练习，以加深对该法则的理解和运用能力。若在学习过程中遇到任何疑问，或者有独特的解题思路和有趣的发现，欢迎在评论区留言分享。如果觉得这篇文章对您有所帮助，烦请您点赞、关注，后续我还会为您带来更多精彩的数学知识分享！

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往期精彩回顾：

• 用Python来学微积分22-费马定理
• 用Python来学微积分23-微分中值定理

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下期预告：在下一篇文章中，我们将开始学习洛必达法则。

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参考资料：

1. 扈志明《微积分》教材

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