分数阶非局部扩散传染病模型稳态解的存在性与渐近性分析

文献综述

前言

随着全球人口流动性的增强与新发传染病的频繁暴发，传统整数阶常微分方程构建的传染病模型已难以充分刻画疾病传播过程中的记忆效应、非马尔可夫特性以及空间异质性。在此背景下，分数阶微分方程因其能够有效描述系统历史依赖性和长期记忆特征，逐渐成为建模复杂流行病动力学的重要工具。与此同时，非局部扩散机制通过积分核函数反映个体或病原体在空间上的跳跃式迁移，突破了经典Fickian扩散局限于邻域交互的限制，尤其适用于模拟跨区域旅行引发的远距离传播现象。将分数阶导数与非局部扩散相结合，构成了更具现实解释力的数学框架——分数阶非局部扩散传染病模型。

此类模型的核心科学问题之一在于其稳态解的存在性与渐近行为分析。稳态解不仅代表疾病是否能在种群中长期存续，还决定了系统的最终演化格局：若唯一稳态为无病平衡点且全局吸引，则疫情终将消退；反之，若存在唯一的正则稳态（即地方病平衡），则意味着疾病将持续流行。因此，探究这类广义扩散系统的稳态结构及其稳定性机制，不仅是理论分析的关键环节，也为制定有效的防控策略提供定量依据。

尽管已有大量研究关注整数阶非局部模型或纯分数阶常微分系统的动力学性质，但针对同时具备分数阶导数与非局部空间作用的耦合系统的系统性研究成果仍相对有限。现有文献多集中于特定疾病类型（如HIV、埃博拉）或简化结构（如单一群体、忽略年龄结构），尚未形成统一的理论范式来处理一般形式下稳态的存在性判据、唯一性条件及长时间渐近行为。此外，由于分数阶算子不具备半群性质，传统的Lyapunov方法和谱分析技术需作相应调整，进一步增加了理论推导的难度。

本文旨在基于近年来发表的相关研究成果，梳理分数阶非局部扩散传染病模型在稳态解方面的研究进展，重点聚焦于三类典型模型结构：含分布时滞的年龄结构模型、多群体SEIR/SIRS框架下的异质环境模型，以及引入Caputo型分数阶导数的HIV与埃博拉病毒模型。通过对不同建模范式下数学方法的应用路径进行比较，归纳出共通的技术路线，并指出当前研究中存在的理论缺口与潜在发展方向。选题范围限定于2021年至2025年间发表的同行评议论文，确保综述内容反映最新学术动态。

主体

分数阶导数在传染病建模中的理论优势与实现方式

分数阶微积分作为经典微积分的推广，在描述具有记忆性和遗传特性的物理与生物过程方面展现出独特优势。在传染病动力学中，个体感染状态的变化往往受到过去暴露史的影响，例如潜伏期的存在、免疫反应的时间滞后以及干预措施效果的累积效应。整数阶导数假设系统状态仅由当前时刻决定，忽略了这种历史依赖性，而Caputo型分数阶导数则允许当前变化率受整个历史轨迹的加权影响，权重通常随时间呈幂律衰减 [1]。这一特性使得分数阶模型能更真实地再现实际疫情曲线的缓慢上升与拖尾下降现象。

以Olaniyi等人（2025）对埃博拉病毒病的研究为例，他们构建了一个基于Caputo导数的非整数阶模型，用于捕捉疾病的非线性动态 [5]。该工作中，作者通过构造适当的Lyapunov泛函并结合分数阶Routh-Hurwitz准则，证明了当基本再生数 $ \mathcal{R}_0 < 1 $ 时，无病平衡点不仅是局部渐近稳定的，而且具有全局稳定性。值得注意的是，他们在数值验证部分展示了不同分数阶次 $\alpha$ 对收敛速度的影响，发现较低的 $\alpha$ 值会导致系统响应更为迟缓，这恰好对应现实中强记忆效应下疫情消退缓慢的现象。类似地，Ahmad等人（2023）在HIV/AIDS模型中引入治疗类别的同时采用Caputo算子，利用不动点理论证明了解的存在唯一性，并借助Ulam–Hyers稳定性方法确立了平衡态的鲁棒性 [4]。这两项研究表明，分数阶建模不仅能提升拟合精度，还能揭示传统模型无法呈现的动力学细节。

另一条发展路径体现在将分数阶机制嵌入更复杂的传播结构中。Li等人（2024）提出了一种考虑双毒株竞争的对称分数阶模型，其中引入非单调发病率以反映高感染水平下公众警觉性提高导致的接触率下降 [10]。该模型不仅包含时间延迟 $\tau$，还通过调节分数阶参数 $\theta$ 来刻画个体异质性与记忆强度。研究发现，当 $\theta$ 接近1时，系统趋于整数阶行为；而当 $\theta$ 减小，Hopf分岔阈值发生变化，周期振荡更容易出现。这意味着记忆效应本身可能诱发原本稳定的平衡态失稳，从而引发表现为反复暴发的复杂流行模式。此类结果提示我们，分数阶参数不仅是拟合自由度的增加，更是理解疾病复发机制的一个新维度。

必须承认的是，目前多数分数阶模型仍停留在常微分方程层面，缺乏空间结构的显式建模。仅有少数工作尝试将其与空间扩散机制融合。例如，Ilhem等人（2023）虽未直接引入非局部扩散，但他们构建的SEIR模型包含了时间延迟与广义发生率函数，并应用于阿尔及利亚新冠疫情初期数据拟合 [3]。结果显示，相较于整数阶模型，分数阶版本能更准确地预测感染峰值时间和累计发病率，尤其是在封锁措施实施前的自由传播阶段。这一成功案例暗示，若进一步引入空间非局部项，或许可以实现城市间疫情蔓延的精细化模拟。

非局部扩散机制的形式化表达与生态意义

非局部扩散通常以卷积形式出现在反应扩散方程中，表现为：
$$
\int_{\Omega} K(x-y)(u(y,t) - u(x,t))dy,
$$
其中 $K(\cdot)$ 为非负对称核函数，表示单位时间内个体从位置 $y$ 跳跃至 $x$ 的概率密度。与经典的Laplacian扩散相比，非局部算子不要求解的二阶可微性，允许跳跃式迁移，更适合描述现代交通网络支撑下的远距离传播。Kang与Ruan（2021）在其提出的年龄结构SIS模型中明确采用此种机制，用以刻画通过长途旅行引起的地理播散 [1]。他们将人群按感染年龄划分，并假设病原体在空间上通过卷积核进行非局部扩散。借助半群理论与单调算子方法，证明了系统存在唯一的非平凡稳态，且该稳态在 $ \mathcal{R}_0 > 1 $ 时局部和全局稳定。特别地，他们分析了主特征值随扩散速率的变化趋势，发现当扩散增强时，主特征值趋近于局部情形的极限值，揭示了非局部与局部模型之间的连续过渡关系。

Djilali与Chen（2024）进一步拓展了这一思想，在异质环境中建立了一个带有分布时滞的海洛因滥用模型，其空间扩散亦采用非局部形式 [2]。该研究的关键贡献在于，利用谱理论定义了基本再生数 $ \mathcal{R}_0 $，并证明其作为阈值参数的角色：当 $ \mathcal{R}_0 < 1 $ 时，成瘾自由平衡全局稳定；当 $ \mathcal{R}_0 > 1 $，至少存在一个成瘾稳态。更有启发性的是，他们探讨了当某一扩散系数趋于零时，成瘾稳态的渐近分布形态。结果表明，在某些条件下，稳态会集中于资源丰富或社会脆弱性较高的区域，体现出空间异质性对疾病维持能力的深刻影响。这提示我们在设计干预政策时，不能仅关注整体传播潜力，还需识别高风险热点区域。

Bentout（2024）在同一研究脉络下分析了一个兼具年龄结构、非局部扩散与分布时滞的流行病模型，进一步强化了非局部机制在复杂系统中的适用性 [3]。他通过上下解方法证明了地方病平衡的存在性，并构造了一个恰当的Lyapunov函数来论证其全局渐近稳定性。值得注意的是，该模型中的非局部扩散作用于病原体而非宿主，暗示病毒在细胞间的跳跃式传播可能是驱动稳态形成的重要因素。这种建模选择反映了生物学机理的不同层次抽象：当关注宿主移动时，非局部项作用于人口密度；当侧重病原体扩散，则可能施加于感染源强度。

Li与Wang（2024）的工作则另辟蹊径，将非局部扩散与自由边界问题结合，研究疾病在无界区域内的扩张行为 [9]。他们的模型设定一侧为固定边界（如自然屏障），另一侧为自由边界（代表疫情前沿），并通过非局部算子驱动边界的演化。研究得出“传播-消失二分法”：要么疫情最终局限在一个有界区域内并趋于灭绝，要么持续向外扩展并以恒定速度推进。尤为关键的是，他们证明了传播速度有限的充要条件是核函数满足某种矩条件，即跳跃距离不能太长或太频繁。这一结论为评估跨境传播风险提供了量化指标——若某地区的人员流动分布具有重尾特征（如幂律分布），则疫情很可能快速扩散至全域。

稳态解的存在性判据与数学工具的发展

在非局部与分数阶双重复杂性交织的系统中，稳态解的存在性判定远非直观。传统ODE方法依赖相平面分析或打靶法，但在无限维偏泛函微分系统中不再适用。取而代之的是泛函分析与算子理论的深度介入。Kang与Ruan（2021）采用C0半群框架处理年龄结构带来的无穷维性，并结合正算子理论识别出与解流相关联的正线性算子的谱半径，将其定义为阈值参数 [1]。这一做法将 $ \mathcal{R}_0 $ 的概念从离散世代间隔推广到连续年龄结构与空间非局部交互的情形，增强了阈值理论的普适性。

另一条主流路径是运用下一代算子法（next generation operator approach）。Bentout与Djilali（2025）在SIRS模型中严格推导出 $ \mathcal{R}_0 $ 为该算子的谱半径，并据此建立阈值准则：当 $ \mathcal{R}_0 < 1 $，无病平衡全局稳定；当 $ \mathcal{R}_0 > 1 $，系统强持久，必存在至少一个正的地方病平衡 [6]。这种方法的优势在于不依赖具体方程形式，只要满足一定紧性与正则性条件即可应用。Liu与Li（2022）在多群体SEIR模型中也采用了类似策略，尽管其扩散为局部形式，但参数的空间异质性带来了额外挑战 [7]。他们通过构造全局吸引子证明了解的长期有界性，并借助持久性理论确认了 $ \mathcal{R}_0 > 1 $ 时疾病的持续生存。

对于分数阶系统，由于缺乏标准的比较原理与最大值定理，常规上下解方法需加以改造。Ahmad等人（2023）在HIV模型中通过压缩映射原理结合Schauder不动点定理，证得解的存在唯一性 [4]。随后，他们引入Ulam–Hyers稳定性概念，检验平衡点在扰动下的恢复能力，这是一种比Lyapunov稳定性更强的要求，适用于测量模型对参数误差的敏感程度。Olaniyi等人（2025）则直接应用分数阶Routh-Hurwitz判据判断Jacob矩阵的特征根分布，进而确定局部稳定性 [5]。这些技术共同构成了分数阶系统稳态分析的基础工具箱。

许多研究并未止步于存在性证明，而是进一步探索稳态的渐近轮廓。Djilali与Chen（2024）在 $ \mathcal{R}_0 > 1 $ 且某扩散系数趋于零时，研究了成瘾稳态的集中现象 [2]。他们发现，当扩散能力极弱时，稳态趋向于集中在资源供给最优的位置，呈现出类似于“最优栖息地”的聚集模式。这一现象在生态学中早有先例，但在流行病语境下却提示我们：即使整体传播力不高，局部高危区域仍可能长期维持疾病流行。Bentout（2024）也在其模型中观察到类似趋势，当非局部扩散率降低时，稳态浓度升高，反映出传播受限反而加剧局部负担的悖论 [3]。

渐近行为与长期动力学的多样性

稳态的存在只是起点，其稳定性与系统整体的长期行为才是决定实际后果的关键。全局渐近稳定性意味着无论初始感染如何分布，系统都将收敛至同一终态，这对预测和干预极为有利。Ilhem等人（2023）在其分数阶SEIR模型中，分别构造了针对无病平衡与地方病平衡的Lyapunov函数，完成了全局稳定性的完整刻画 [3]。他们指出，分数阶系统的Lyapunov分析需借助专门的不等式技巧（如Gronwall不等式的分数阶版本），并且稳定性结论通常依赖于Caputo导数的单调性性质。

另一类重要问题是传播速度的确定。Li与Wang（2024）的研究表明，自由边界模型中的传播速度与非局部核函数的支撑大小密切相关 [9]。当核函数支撑较小时（即跳跃距离短），传播速度有限；而当支撑扩大，可能出现加速传播甚至爆破式扩散。这一发现与现实世界中航空网络导致的“超级传播事件”高度吻合。更进一步，他们证明传播速度等于解组分 $(u,v)$ 的渐近扩展速率，建立起微观迁移机制与宏观传播速度之间的桥梁。

一些研究开始关注模型参数对稳态结构的调控作用。Bentout与Djilali（2025）指出，当扩散核支持足够小且成本参数 $ m < 2 $ 时，即便 $ \mathcal{R}_0 $ 不很高，疾病仍可持续存在 [6]。这里的“成本参数”隐喻个体迁移所需付出的能量或经济代价，暗示低成本的高频短距移动可能比高成本的稀疏长距移动更具传播效力。这一洞察对疫情防控具有直接指导意义：限制远途旅行固然重要，但也不能忽视日常通勤带来的累积风险。

模型验证与数值模拟的作用

理论分析的结果必须通过数值手段加以验证，否则难以评估其实际可行性。多数研究均辅以数值实验，既用于参数敏感性测试，也用于展示稳态形态与收敛路径。Ahmad等人（2023）采用Toufik–Atangana数值方案求解Caputo型分数阶系统，结果显示随着 $ \mathcal{R}_0 $ 超过临界值，系统平稳过渡至地方病状态，未出现震荡或混沌 [4]。相反，Li等人（2024）在其双毒株模型中观察到Hopf分岔的存在，即当延迟参数超过某阈值后，稳定平衡失去稳定性，产生周期解 [10]。这种由分数阶记忆与时间延迟共同诱导的振荡行为，可能对应现实中反复流行的季节性疫情。

Ilhem等人（2023）的模拟结果尤为引人注目：他们预测阿尔及利亚在无干预情况下将有约90%人口感染，且新增病例峰值出现在2020年7月底，这一估计与WHO后期公布的回顾性数据高度一致 [3]。更重要的是，分数阶模型的预测显著优于同类整数阶模型，说明引入记忆机制确实提升了外推能力。这为未来在缺乏实时监测数据的情况下开展前瞻性风险评估提供了方法论支持。

总结

分数阶非局部扩散传染病模型作为连接数学理论与公共卫生实践的桥梁，正在经历快速发展。从现有文献来看，研究主线已从单一机制建模转向复合结构分析，逐步涵盖年龄结构、多群体异质性、时间延迟与非单调发生率等多种现实要素。在稳态解的存在性方面，基于谱半径的阈值理论已成为共识性框架，$ \mathcal{R}_0 $ 的定义日趋统一，无论模型是否包含分数阶或非局部项，均可通过下一代算子或线性化系统的主特征值予以刻画。而在渐近行为研究中，全局稳定性多依赖Lyapunov函数构造，自由边界的传播速度分析则依赖精细的先验估计与比较原理。

若干关键问题仍未得到彻底解决。首先是理论工具的兼容性问题：分数阶导数破坏了传统半群结构，使得非局部扩散带来的无穷维动力系统难以直接应用经典稳定性理论。目前虽有个别研究尝试结合Ulam–Hyers稳定性或分数阶比较原理，但仍缺乏统一的分析范式。其次是空间与分数阶耦合的数学处理难题。绝大多数现有工作要么专注分数阶但忽略空间结构，要么研究非局部扩散但限于整数阶时间导数，真正实现时空双重广义化的模型尚属凤毛麟角。

另一个值得关注的方向是稳态的多重性与分岔行为。现有成果大多假定地方病平衡唯一且稳定，但在非单调发生率或双毒株竞争情境下，可能存在多个稳态甚至周期轨道。Li等人（2024）初步揭示了Hopf分岔的可能性，但这仅是冰山一角 [10]。未来研究有必要系统探讨参数平面上的分岔图景，特别是分数阶阶数 $\alpha$ 与其他关键参数（如延迟 $\tau$、扩散核宽度 $\sigma$）之间的交互效应。

就应用而言，当前模型仍高度依赖理想化假设，如均匀介质、各向同性核函数、齐次边界条件等。真实世界的城市网络具有明显的层级结构与方向偏好，未来建模应更多融入地理信息系统（GIS）数据与移动通信记录，使核函数更具实证基础。此外，多数研究仅完成理论证明而未进行大规模数据校准，削弱了其政策指导价值。

下一步研究应着力于三个方面：一是发展适用于分数阶非局部系统的新型稳定性理论，尤其是针对无限维动力系统的分数阶LaSalle不变原理；二是推动跨尺度建模，将个体级迁移行为与群体级传播规律有机整合；三是加强与流行病学界的协作，确保模型输出可转化为具体的干预建议。唯有如此，此类高阶数学模型才能真正服务于精准防疫的目标。

参考文献

[1] Kang, Hao, and S. Ruan. “Mathematical analysis on an age-structured SIS epidemic model with nonlocal diffusion.” Journal of Mathematical Biology 83 (2021).
[2] Djilali, S., Yuming Chen, and Soufiane Bentout. “Dynamics of a delayed nonlocal reaction–diffusion heroin epidemic model in a heterogenous environment.” Mathematical Methods in the Applied Sciences 48 (2024): 273–307.
[3] Bentout, Soufiane. “Analysis of global behavior in an age‐structured epidemic model with nonlocal dispersal and distributed delay.” Mathematical Methods in the Applied Sciences 47 (2024): 7219–7242.
[4] Ahmad, Ashfaq, et al. “Global Stability of Fractional Order HIV/AIDS Epidemic Model under Caputo Operator and Its Computational Modeling.” Fractal and Fractional (2023).
[5] Olaniyi, Samson, F. M. Chuma, and S. F. Abimbade. “Asymptotic stability analysis of a fractional epidemic model for Ebola virus disease in Caputo sense.” Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences (2025).
[6] Bentout, Soufiane, and S. Djilali. “Asymptotic dynamics of SIRS epidemic Model with Dispersal Budgets and Nonlinear Rates about Heterogenous Environments.” Mathematical Modelling of Natural Phenomena (2025).
[7] Liu, Pengyan, and Hong-Xu Li. “Global Behavior of a Multi–Group Seir Epidemic Model with Spatial Diffusion in a Heterogeneous Environment.” International Journal of Applied Mathematics and Computer Science 32 (2022): 271–283.
[8] Ilhem, Gacem, M. Kouche, and B. Ainseba. “Stability analysis of a fractional‐order SEIR epidemic model with general incidence rate and time delay.” Mathematical Methods in the Applied Sciences 46 (2023): 10947–10969.
[9] Li, Lei, and Mingxin Wang. “Dynamics of an epidemic model with nonlocal di?usion and a free boundary.” (2024).
[10] Li, Zhixiang, Wanqin Wu, Xuewen Tan, and Qing Miao. “Stability and Bifurcation Analysis of a Symmetric Fractional-Order Epidemic Mathematical Model with Time Delay and Non-Monotonic Incidence Rates for Two Viral Strains.” Symmetry 16 (2024): 1343.