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一、题目

最近以比特币为代表的数字货币市场非常动荡，聪明的小明打算用马尔科夫链来建模股市。如图所示，该模型有三种状态：“行情稳定”，“行情大跌”以及“行情大涨”。每一个状态都以一定的概率转化到下一个状态。比如，“行情稳定”以0.4的概率转化到“行情大跌”的状态。

有了概率转移矩阵P，我们只要知道一个初始状态 ，我们就容易可以知道第 t 步三种状态的概率了。由此可以知道行情什么时候大涨大跌，从而发家致富，赢取白富美，走向人生巅峰。比如我们想知道第1步之后“行情大跌”的概率，那么由全概率公式和马尔科夫链的性质(第t步的概率只和第t-1步有关)：

可以通过该模型，计算出第t步的“行情大涨”的概率吗？如果这个概率大于0.5那么输出1，否则输出0。

输入描述 第1行输入为测试数据组数T(1<=T<1000)，接下来T组每5行的数据格式为 T组第1行是步长1<=t<=10。 T组第2行是一个3维的初始状态 T组第3行到第5行是3*3的概率转移矩阵P，每行有三个浮点数

输出描述 如果第t步的“行情大涨”概率大于0.5那么输出1，否则输出0

二、分析

该问题着重于预测数字货币市场行情在未来特定时间步处于“行情大涨”状态的可能性，以此辅助决策。题目要求利用马尔科夫链这一数学工具，基于给定的初始状态和转移概率矩阵，计算第 t 步时“行情大涨”状态发生的概率是否超过 0.5。马尔科夫链的核心特性在于无记忆性，即第 t 步的状态仅依赖于第 t-1 步的状态，这使得我们能够通过逐步迭代的方式，依据转移概率矩阵预测未来的状态分布。

具体到本题，每组测试数据包括初始状态向量和转移概率矩阵。初始状态向量的三个分量分别代表“行情稳定”“行情大跌”和“行情大涨”三种状态的初始概率。转移概率矩阵是一个 3×3 的矩阵，其中每个元素 P[i][j] 表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。为了计算第 t 步的状态概率分布，我们需要从初始状态出发，连续应用 t-1 次转移概率矩阵。这可以通过矩阵乘法的方式实现：每一步，我们都用当前状态概率分布与转移概率矩阵相乘，得到下一步的状态概率分布。

在算法实现上，针对每组测试数据，首先读取步长 t、初始状态向量以及转移概率矩阵。然后，从初始状态开始，进行 t-1 次状态转移计算。在每一次转移中，我们都根据转移概率矩阵更新各状态的概率。具体来说，对于每个可能的起始状态，我们将该状态的概率分配到下一个状态，分配的比例由转移概率决定。经过 t-1 次这样的转移后，我们得到第 t 步的状态概率分布。此时，只需检查“行情大涨”状态的概率是否超过 0.5，即可决定输出 1 或 0。

三、代码

def main():import sysinput = sys.stdin.read().split()ptr = 0T = int(input[ptr])ptr += 1for _ in range(T):t = int(input[ptr])ptr += 1state = list(map(float, input[ptr:ptr+3]))ptr += 3P = []for i in range(3):row = list(map(float, input[ptr:ptr+3]))P.append(row)ptr += 3current_state = state.copy()for _ in range(t-1):new_state = [0.0]*3for j in range(3):for k in range(3):new_state[j] += current_state[k] * P[k][j]current_state = new_stateif current_state[2] > 0.5:print(1)else:print(0)if __name__ == "__main__":main()

1. 输入读取与解析：

   • 读取输入的所有数据，并将其存储在一个列表中。

   • 使用指针 ptr 来逐个访问输入数据。

   • 第一个输入是测试数据组数 T。

2. 每组数据处理：

   • 对于每组数据，首先读取步长 t。

   • 接着读取初始状态向量 state，该向量包含三个元素，分别表示初始时刻处于“行情稳定”、“行情大跌”和“行情大涨”三种状态的概率。

   • 然后读取 3×3 的转移概率矩阵 P，其中每个元素 P[i][j] 表示从状态 i 转移到状态 j 的概率。

3. 状态转移计算：

   • 初始化当前状态为初始状态向量 current_state。

   • 对于从第 1 步到第 t-1 步的每一步，计算下一步的状态概率分布：

     • 创建一个新的状态向量 new_state，初始化为全 0。

     • 对于每个状态 j，计算当前状态转移到状态 j 的总概率，并累加到 new_state[j] 中。

   • 将当前状态更新为新计算的状态 new_state。

4. 输出结果：

   • 在完成 t-1 次转移后，检查当前状态中“行情大涨”（对应索引 2）的概率是否大于 0.5。

   • 如果大于 0.5，则输出 1；否则输出 0。

这个代码实现了对每组测试数据的输入解析、状态转移的迭代计算以及最终结果的判断和输出。