算法——递归

学习目标：

• 掌握算法入门知识

学习内容：

1. 递归的定义
2. 例题详细步骤讲解

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1. 递归的定义

递归虽然每次调用的是相同的子程序，但它的参量、输入数据等均有变化，且随着调用的不断深入，必定会出现调用到某一层的函数时，不再执行递归调用而终止函数的执行。

输入输出以栈的形式存放。每调用一次进栈一次，当返回时执行出栈，把当前栈顶保留的值送回相应的参量中进行恢复，并按栈顶中的返回地址，从断点继续执行。

2. 例题详细步骤讲解

#include <stdio.h>
void fun(int n)
{
 　 if (n<1) return;
　　else
　　{	printf("调用f(%d)前,n=%d\n",n-1,n);
		fun(n-1);
		printf("调用f(%d)后:n=%d\n",n-1,n);
　　}
}

在该例子中，n<1即递归出口。

• 当n=5时，分析下整个递归过程：
  （1）n>1，输出 “调用f(4)前，n=5” ，递归开始，执行fun(4)
  （2）n>1，输出“调用f(3)前，n=4”，递归开始，执行fun(3)
  （3）n>1，输出“调用f(2)前，n=3”，递归开始，执行fun(2)
  （4）n>1，输出“调用f(1)前，n=2”，递归开始，执行fun(1)
  （5）n>1，输出“调用f(0)前，n=1”，递归开始，执行fun(0)
  （6）n<1，return;
  （7）此时fun(0)调用完毕，从断点处继续向下执行，输出“调用f(0)后，n=1”
  （8）此时fun(1)调用完毕，从断点处继续向下执行，输出“调用f(1)后，n=2”
  （9）此时fun(2)调用完毕，从断点处继续向下执行，输出“调用f(2)后，n=3”
  （10）此时fun(3)调用完毕，从断点处继续向下执行，输出“调用f(3)后，n=4”
  （11）此时fun(4)调用完毕，从断点处继续向下执行，输出“调用f(4)后，n=5”

• 时间复杂度：
  如果 n < 1，函数立即返回，不执行任何打印操作。
  如果 n >= 1，函数首先打印一条消息，然后递归调用自身 fun(n-1)，最后再打印另一条消息。
  由于每次递归调用都会使 n 减少 1，直到 n < 1 为止，因此递归调用的深度是n。因此，时间复杂度是 O(n)。

• 空间复杂度：
  主要考虑的是递归调用栈的使用。每次递归调用都会将当前函数的状态（包括参数、局部变量和返回地址）压入调用栈。递归调用的深度是 n，因此调用栈中最多将有 n 个函数帧，每个函数帧占用的空间是常数。因此，空间复杂度是 O(n)。