神经网络与深度学习基础：从线性回归到分类模型

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​​核心模型​​	线性回归 → 神经网络	Softmax回归
​​解决问题​​	回归问题（预测连续值）	分类问题（预测离散类别）
​​关键创新​​	引入激活函数解决线性不可分问题	引入独热编码和交叉熵损失解决分类问题
​​优化算法​​	梯度下降法 → 小批量随机梯度下降（SGD）	小批量随机梯度下降（SGD）
​​核心概念​​	损失函数（MSE）、学习率、Batch Size	损失函数（交叉熵）、独热编码、全连接层

1. 从线性回归到神经网络

• ​​基础​​：神经网络起源于线性回归（Y = W * X + B），最简单的神经网络就是一个线性模型。

• ​​局限性​​：纯线性模型无法解决复杂（如异或）问题。

• ​​解决方案​​：引入​​激活函数​​（如ReLU），为模型加入非线性变换，使其能够学习复杂模式。

2. 模型训练的核心：损失函数与优化

• ​​目标​​：通过调整参数（W, B）来最小化​​损失函数​​。

• ​​回归问题​​：使用​​均方误差（MSE）​​ 损失函数。

• ​​分类问题​​：使用​​交叉熵损失​​函数。

• ​​优化方法​​：使用​​梯度下降法​​，通过计算梯度并沿反方向更新参数来最小化损失。

• ​​实践策略​​：采用​​小批量随机梯度下降（SGD）​​，这是一种权衡了计算效率和稳定性的常用方法。

3. 分类问题的特殊处理

• ​​输出表示​​：使用​​Softmax回归​​将输出转换为概率分布，所有类别概率之和为1。

• ​​标签表示​​：使用​​独热编码​​将类别标签转换为向量形式，避免模型产生错误的数值偏见。

4. 关键超参数

• ​​学习率（Learning Rate）​​：控制参数更新的步长，是最重要的超参数之一。

• ​​批量大小（Batch Size）​​：每次参数更新时使用的样本数量，影响训练速度和稳定性。

5. 网络结构

• ​​全连接层​​：一种基本的神经网络层，该层的每个神经元都与前一层的所有神经元相连。

​​6. 核心模型与概念​​

• ​​线性回归​​

  • 基础形式：Y = W * X + B（权重W，偏置B）

  • 应用场景：预测连续值（如房价估计）

  • 局限性：无法解决非线性问题（如异或问题）。

• ​​神经网络​​

  • ​​激活函数​​（如ReLU）：引入非线性，使模型能学习复杂模式。

  • ​​全连接层​​：每一层的神经元与前一层的所有神经元相连。

• ​​Softmax回归​​

  • 用于多类分类问题（如手写数字识别、图像分类）。

  • 输出为概率分布（非负，和为1），通过exp运算实现。

  • 示例：输入[1, -1, 2]→ Softmax输出[0.26, 0.04, 0.7]。

​​7. 模型训练与优化​​

• ​​损失函数​​

  • ​​回归问题​​：均方误差（MSE/L2损失）、L1损失、Huber损失。

  • ​​分类问题​​：交叉熵损失（比较预测概率分布与真实标签）。

• ​​优化算法​​

  • ​​梯度下降法​​：

    • 核心思想：沿梯度反方向更新参数，逐步最小化损失函数。

    • ​​梯度​​：指向函数值下降最快的方向，但不保证全局最优。

  • ​​随机梯度下降（SGD）​​：

    • 每次随机选取一个样本计算梯度，高效但波动大。

  • ​​小批量随机梯度下降（Mini-batch SGD）​​：

    • 折中方案：每次用一小批（Batch）数据计算梯度。

    • ​​超参数​​：

      • ​​批量大小（Batch Size）​​：过小浪费计算资源，过大降低收敛速度。

      • ​​学习率（Learning Rate）​​：过大易震荡，过小收敛慢。

8. 分类任务实践​​

• ​​从回归到分类的扩展​​

  • 回归：输出单个连续值（如房价）。

  • 分类：输出多个值（每类的置信度），通过Softmax转为概率。

  • 示例任务：

    • MNIST（10类手写数字）、ImageNet（1000类物体）、Kaggle蛋白质图像分类（28类）。

• ​​独热编码（One-Hot Encoding）​​

  • 将类别标签转为向量形式（如“猫”→[1, 0, 0]），避免数值偏见。